Номер 8, страница 125, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 12. Движение системы тел - номер 8, страница 125.

Условие.

8. Два цилиндра подвешены с помощью одного подвижного и одного неподвижного блоков и пружины (рис. 12.5). Нить лёгкая и нерастяжимая, трением в блоках и их массой можно пренебречь. Масса первого цилиндра $m_1 = 200 \text{ г}$, жёсткость пружины $k = 100 \text{ Н/м}$, удлинение пружины $3 \text{ см}$.

Рис. 12.5

a) Чему равен вес первого цилиндра?

б) Могут ли цилиндры покоиться?

в) Чему равно ускорение первого цилиндра и как оно направлено?

г) Чему равен вес второго цилиндра?

д) Чему равно ускорение второго цилиндра и как оно направлено?

е) Чему равна масса второго цилиндра?

При решении некоторых задач для записи уравнений второго закона Ньютона в проекциях на оси координат удобно использовать более одной системы координат. Рассмотрим примеры.

Решение 2.

Дано:

$m_1 = 200 \text{ г}$

$k = 100 \text{ Н/м}$

$\Delta x = 3 \text{ см}$

Примем ускорение свободного падения $g = 10 \text{ м/с}^2$.

Перевод в СИ:

$m_1 = 0.2 \text{ кг}$

$\Delta x = 0.03 \text{ м}$

Найти:

а) $P_1$ - ?

б) Могут ли цилиндры покоиться?

в) $a_1$ - ?

г) $P_2$ - ?

д) $a_2$ - ?

е) $m_2$ - ?

Решение:

а) Чему равен вес первого цилиндра?

Вес тела ($\text{P}$) – это сила, с которой тело вследствие притяжения к Земле действует на опору или подвес. В данном случае первый цилиндр подвешен на пружине, поэтому его вес $P_1$ равен силе упругости пружины $F_{упр}$.

Согласно закону Гука, сила упругости пружины вычисляется по формуле:

$F_{упр} = k \cdot \Delta x$

Подставим известные значения:

$P_1 = F_{упр} = 100 \text{ Н/м} \cdot 0.03 \text{ м} = 3 \text{ Н}$

Ответ: Вес первого цилиндра равен 3 Н.

б) Могут ли цилиндры покоиться?

Для того чтобы система находилась в состоянии покоя (равновесия), необходимо, чтобы равнодействующая всех сил, действующих на каждый из цилиндров, была равна нулю. Рассмотрим силы, действующие на первый цилиндр: сила тяжести $F_{т1} = m_1g$, направленная вниз, и сила упругости пружины $F_{упр}$, направленная вверх.

Вычислим силу тяжести, действующую на первый цилиндр:

$F_{т1} = m_1 \cdot g = 0.2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 2 \text{ Н}$

Сила упругости пружины, как было найдено в пункте а), составляет $F_{упр} = 3 \text{ Н}$.

Поскольку $F_{упр} \neq F_{т1}$ ($3 \text{ Н} \neq 2 \text{ Н}$), равнодействующая сил, приложенных к первому цилиндру, не равна нулю. Следовательно, первый цилиндр не может находиться в покое. Так как цилиндры связаны в единую систему, то и вся система не может находиться в покое.

Ответ: Нет, цилиндры не могут покоиться, так как на первый цилиндр действует ненулевая равнодействующая сила.

в) Чему равно ускорение первого цилиндра и как оно направлено?

Применим второй закон Ньютона для первого цилиндра. Выберем вертикальную ось OY, направленную вверх. Проекция на эту ось:

$m_1a_1 = F_{упр} - F_{т1}$

Из этого уравнения выразим ускорение $a_1$:

$a_1 = \frac{F_{упр} - F_{т1}}{m_1} = \frac{3 \text{ Н} - 2 \text{ Н}}{0.2 \text{ кг}} = \frac{1 \text{ Н}}{0.2 \text{ кг}} = 5 \text{ м/с}^2$

Поскольку значение $a_1$ получилось положительным, а ось OY была направлена вверх, ускорение первого цилиндра направлено вертикально вверх.

Ответ: Ускорение первого цилиндра равно $5 \text{ м/с}^2$ и направлено вверх.

г) Чему равен вес второго цилиндра?

Вес второго цилиндра $P_2$ — это сила, с которой он действует на подвес, то есть на ось подвижного блока. По третьему закону Ньютона эта сила равна по модулю силе, с которой ось блока действует на цилиндр. Рассмотрим невесомый подвижный блок. На него действуют две силы натяжения нити $\text{T}$, направленные вверх, и сила $P_2$ со стороны цилиндра, направленная вниз. Для невесомого блока сила, передаваемая на подвес, равна сумме сил натяжения, то есть $P_2 = 2T$.

Сила натяжения нити $\text{T}$ равна силе упругости пружины $F_{упр}$, так как они соединены последовательно и их массы, а также масса нити, пренебрежимо малы.

$T = F_{упр} = 3 \text{ Н}$

Следовательно, вес второго цилиндра равен:

$P_2 = 2T = 2 \cdot 3 \text{ Н} = 6 \text{ Н}$

Ответ: Вес второго цилиндра равен 6 Н.

д) Чему равно ускорение второго цилиндра и как оно направлено?

Запишем второй закон Ньютона для второго цилиндра. Направим ось OY вверх. На цилиндр действуют сила тяжести $m_2g$ (вниз) и сила $F_{оп}$ со стороны оси блока (вверх). Эта сила, по третьему закону Ньютона, равна весу $P_2$, который мы нашли в пункте г): $F_{оп} = P_2 = 6 \text{ Н}$.

$m_2a_2 = F_{оп} - m_2g = 6 \text{ Н} - m_2g$

Это уравнение содержит две неизвестные ($m_2$ и $a_2$). Для получения однозначного решения необходимо дополнительное условие. В таких задачах часто предполагается, что параметры системы подобраны так, что одна из ее частей находится в особом состоянии. Логично предположить, что масса второго цилиндра такова, что в рассматриваемый момент времени его ускорение равно нулю ($a_2=0$).

В этом случае уравнение движения принимает вид: $0 = 6 \text{ Н} - m_2g$.

Ответ: Ускорение второго цилиндра равно 0.

е) Чему равна масса второго цилиндра?

Из условия, полученного в предыдущем пункте, следует, что сила тяжести второго цилиндра уравновешивает силу со стороны подвеса:

$m_2g = 6 \text{ Н}$

Отсюда находим массу второго цилиндра:

$m_2 = \frac{6 \text{ Н}}{g} = \frac{6 \text{ Н}}{10 \text{ м/с}^2} = 0.6 \text{ кг}$

Ответ: Масса второго цилиндра равна 0.6 кг.