Номер 3, страница 123, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 12. Движение системы тел - номер 3, страница 123.

Условие.

3. Брусок массой $m_6$ находится на гладком столе (рис. 12.2). Он связан лёгкой нерастяжимой нитью, переброшенной через блок, с грузом массой $m_{\Gamma}$. Трением в блоке и массой блока можно пренебречь.

Рис. 12.2

а) Изобразите на чертеже силы, действующие на брусок и на груз. Назовите эти силы.

б) Равны ли по модулю ускорения тел? Равны ли по модулю силы натяжения нити, действующие на брусок и на груз? Обоснуйте свои ответы.

в) Запишите второй закон Ньютона для бруска и груза в проекциях на показанные на рисунке оси координат (обозначьте $\text{a}$ модуль ускорения тел, $\text{T}$ — модуль силы натяжения нити).

г) Используя полученные уравнения, выразите модуль ускорения тел и силу натяжения нити через $m_6$ и $m_{\Gamma}$.

Решение 2.

а) На брусок (тело массой $m_б$), находящийся на столе, действуют следующие силы:

1. Сила тяжести $m_б \vec{g}$, приложенная к центру масс бруска и направленная вертикально вниз.

2. Сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, приложенная к основанию бруска и направленная вертикально вверх, перпендикулярно поверхности стола.

3. Сила натяжения нити $\vec{T}_б$, приложенная к бруску в точке крепления нити и направленная горизонтально вправо.

На груз (тело массой $m_г$), подвешенный на нити, действуют следующие силы:

1. Сила тяжести $m_г \vec{g}$, приложенная к центру масс груза и направленная вертикально вниз.

2. Сила натяжения нити $\vec{T}_г$, приложенная к грузу в точке крепления нити и направленная вертикально вверх.

Ответ: Силы, действующие на брусок: сила тяжести ($m_б \vec{g}$), сила нормальной реакции опоры ($\vec{N}$) и сила натяжения нити ($\vec{T}_б$). Силы, действующие на груз: сила тяжести ($m_г \vec{g}$) и сила натяжения нити ($\vec{T}_г$).

б) Модули ускорений тел равны. Это следует из условия, что нить нерастяжима. Нерастяжимость нити означает, что брусок и груз движутся как единое целое, то есть за любой промежуток времени проходят одинаковые по величине перемещения. Следовательно, их скорости и ускорения в любой момент времени равны по модулю: $a_б = a_г = a$.

Модули сил натяжения нити, действующие на брусок и на груз, также равны. По условию, нить легкая (невесомая), а блок идеальный (его массой и трением в нем можно пренебречь). В такой идеализированной системе сила натяжения передается по всей длине нити без изменений. Таким образом, сила, с которой нить тянет брусок, равна по модулю силе, с которой нить тянет груз: $|\vec{T}_б| = |\vec{T}_г| = T$.

Ответ: Да, модули ускорений тел равны, так как тела связаны нерастяжимой нитью. Да, модули сил натяжения нити, действующие на брусок и груз, равны, так как нить и блок считаются идеальными (невесомыми и без трения).

в) Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в векторной форме, а затем в проекциях на оси координат, указанные на рисунке (ось Ox направлена горизонтально вправо, ось Oy — вертикально вниз). Обозначим модуль ускорения тел через $\text{a}$ и модуль силы натяжения нити через $\text{T}$.

Для бруска массой $m_б$:

Второй закон Ньютона в векторной форме: $m_б \vec{a} = m_б \vec{g} + \vec{N} + \vec{T}$.

Проекция на ось Ox: Ускорение $\vec{a}$ направлено вдоль оси Ox, сила натяжения $\vec{T}$ также направлена вдоль оси Ox. Силы $m_б \vec{g}$ и $\vec{N}$ перпендикулярны оси Ox, их проекции равны нулю.

$m_б a = T$

Для груза массой $m_г$:

Второй закон Ньютона в векторной форме: $m_г \vec{a} = m_г \vec{g} + \vec{T}$.

Проекция на ось Oy: Ускорение $\vec{a}$ направлено вдоль оси Oy. Сила тяжести $m_г \vec{g}$ сонаправлена с осью Oy, а сила натяжения $\vec{T}$ направлена противоположно оси Oy.

$m_г a = m_г g - T$

Ответ: Уравнения второго закона Ньютона в проекциях на указанные оси: для бруска $m_б a = T$; для груза $m_г a = m_г g - T$.

г) Для нахождения модуля ускорения $\text{a}$ и силы натяжения нити $\text{T}$ решим систему двух уравнений с двумя неизвестными, полученных в пункте (в):

$\begin{cases} m_б a = T \\ m_г a = m_г g - T \end{cases}$

Для решения системы можно сложить левые и правые части уравнений, либо использовать метод подстановки. Подставим выражение для $\text{T}$ из первого уравнения во второе:

$m_г a = m_г g - m_б a$

Перенесем слагаемое, содержащее $\text{a}$, в левую часть уравнения:

$m_г a + m_б a = m_г g$

Вынесем $\text{a}$ за скобки:

$a(m_б + m_г) = m_г g$

Отсюда выражаем модуль ускорения тел:

$a = \frac{m_г g}{m_б + m_г}$

Теперь, зная ускорение, найдем модуль силы натяжения нити, подставив полученное выражение для $\text{a}$ в первое уравнение системы ($T = m_б a$):

$T = m_б \cdot \frac{m_г g}{m_б + m_г} = \frac{m_б m_г g}{m_б + m_г}$

Ответ: Модуль ускорения тел: $a = \frac{m_г g}{m_б + m_г}$. Модуль силы натяжения нити: $T = \frac{m_б m_г g}{m_б + m_г}$.