Номер 25, страница 121, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 11. Равномерное движение по окружности под действием нескольких сил - номер 25, страница 121.

Условие.

25. Поезд, движущийся со скоростью $15 \text{ м/с}$, совершает поворот. К потолку вагона на пружине жёсткостью $200 \text{ Н/м}$ подвешен груз массой $2 \text{ кг}$. Чему равен радиус дуги, по которой поезд совершает поворот, если удлинение пружины во время поворота равно $11 \text{ см}$?

Решение 2.

Дано

Скорость поезда, $v = 15 \text{ м/с}$

Жёсткость пружины, $k = 200 \text{ Н/м}$

Масса груза, $m = 2 \text{ кг}$

Удлинение пружины, $\Delta l = 11 \text{ см} = 0.11 \text{ м}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Радиус дуги, $\text{R}$

Решение

Когда поезд совершает поворот, на груз, подвешенный на пружине, действуют две силы: сила тяжести $\vec{F_g}$, направленная вертикально вниз, и сила упругости пружины $\vec{F_{el}}$, направленная вдоль пружины. Равнодействующая этих двух сил создает центростремительную силу $\vec{F_c}$, которая направлена горизонтально к центру поворота и обеспечивает движение груза по дуге вместе с поездом. Согласно второму закону Ньютона:

$\vec{F_g} + \vec{F_{el}} = \vec{F_c}$

Сила тяжести $\vec{F_g}$ и центростремительная сила $\vec{F_c}$ являются взаимно перпендикулярными векторами. Сила упругости $\vec{F_{el}}$ является их векторной суммой (гипотенузой в прямоугольном треугольнике сил). Таким образом, их модули связаны теоремой Пифагора:

$F_{el}^2 = F_g^2 + F_c^2$

Отсюда мы можем выразить модуль центростремительной силы:

$F_c = \sqrt{F_{el}^2 - F_g^2}$

Сначала вычислим модули сил упругости и тяжести.

Сила упругости пружины определяется по закону Гука:

$F_{el} = k \cdot \Delta l = 200 \text{ Н/м} \cdot 0.11 \text{ м} = 22 \text{ Н}$

Сила тяжести, действующая на груз:

$F_g = m \cdot g = 2 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 19.6 \text{ Н}$

Теперь найдем модуль центростремительной силы:

$F_c = \sqrt{(22 \text{ Н})^2 - (19.6 \text{ Н})^2} = \sqrt{484 - 384.16} = \sqrt{99.84} \text{ Н}$

Центростремительная сила также определяется выражением $F_c = m \frac{v^2}{R}$. Приравняв два выражения для $F_c$, мы можем найти радиус дуги $\text{R}$:

$m \frac{v^2}{R} = \sqrt{99.84}$

$R = \frac{mv^2}{\sqrt{99.84}} = \frac{2 \text{ кг} \cdot (15 \text{ м/с})^2}{\sqrt{99.84} \text{ Н}} = \frac{2 \cdot 225}{\sqrt{99.84}} = \frac{450}{\sqrt{99.84}}$

$R \approx \frac{450}{9.992} \approx 45.036 \text{ м}$

Округляя результат, получаем, что радиус дуги равен приблизительно 45 метрам.

Ответ: $R \approx 45 \text{ м}$.