Номер 20, страница 120, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 11. Равномерное движение по окружности под действием нескольких сил - номер 20, страница 120.

Условие.

20. Гирька, подвешенная на нити длиной 50 см, равномерно дви-жется по окружности в горизонтальной плоскости. При этомсила натяжения нити в 3 раза превышает действующую нагирьку силу тяжести. Поставьте по этой ситуации четыре вопроса и найдите ответы на них.

Решение 2.

Дано:

Длина нити, $L = 50$ см

Сила натяжения нити, $T = 3 F_g = 3mg$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

$L = 50 \text{ см} = 0,5 \text{ м}$

Найти:

1. Угол отклонения нити от вертикали, $\alpha$

2. Радиус окружности движения, $\text{r}$

3. Скорость движения гирьки, $\text{v}$

4. Период обращения гирьки, $\text{P}$

Решение:

На гирьку действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\text{T}$, направленная вдоль нити к точке подвеса. Равнодействующая этих сил сообщает гирьке центростремительное ускорение $a_c$, направленное горизонтально к центру окружности, по которой она движется.

Введем систему координат: ось OY направим вертикально вверх, а ось OX — горизонтально к центру окружности. Пусть $\alpha$ — угол отклонения нити от вертикали. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на эти оси:

Проекция на ось OY: $T_y - F_g = 0 \implies T \cos \alpha = mg$

Проекция на ось OX: $T_x = ma_c \implies T \sin \alpha = m \frac{v^2}{r}$

где $\text{r}$ — радиус окружности, а $\text{v}$ — скорость гирьки.

1. Каков угол отклонения нити от вертикали?

Из условия задачи известно, что $T = 3mg$. Подставим это выражение в уравнение для проекции сил на вертикальную ось OY:

$(3mg) \cos \alpha = mg$

Разделив обе части уравнения на $mg$ (так как масса гирьки не равна нулю), получаем:

$3 \cos \alpha = 1$

$\cos \alpha = \frac{1}{3}$

Следовательно, угол отклонения нити от вертикали равен:

$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{3}\right) \approx 70,5^\circ$

Ответ: Угол отклонения нити от вертикали составляет $\arccos(1/3)$, что примерно равно $70,5^\circ$.

2. Чему равен радиус окружности, по которой движется гирька?

Радиус окружности $\text{r}$ можно найти из геометрии конического маятника. Он является катетом прямоугольного треугольника, гипотенузой которого служит нить длиной $\text{L}$, а угол, противолежащий этому катету, равен $\alpha$.

$r = L \sin \alpha$

Чтобы найти $\sin \alpha$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, зная, что $\cos \alpha = 1/3$:

$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Теперь можем вычислить радиус, подставив значения $\text{L}$ и $\sin \alpha$:

$r = 0,5 \text{ м} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{3} \text{ м} \approx 0,47 \text{ м}$

Ответ: Радиус окружности равен $\frac{\sqrt{2}}{3}$ м, что примерно составляет 0,47 м.

3. С какой скоростью движется гирька?

Скорость гирьки $\text{v}$ найдем из уравнения второго закона Ньютона в проекции на горизонтальную ось OX:

$T \sin \alpha = m \frac{v^2}{r}$

Подставим в это уравнение известные нам соотношения $T = 3mg$ и $r = L \sin \alpha$:

$3mg \sin \alpha = m \frac{v^2}{L \sin \alpha}$

Сократим массу $\text{m}$ и выразим $v^2$:

$v^2 = 3gL \sin^2 \alpha$

Отсюда скорость $\text{v}$ равна:

$v = \sqrt{3gL \sin^2 \alpha} = \sin \alpha \sqrt{3gL}$

Подставим числовые значения:

$v = \frac{2\sqrt{2}}{3} \sqrt{3 \cdot 9,8 \text{ м/с²} \cdot 0,5 \text{ м}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \sqrt{14,7} \text{ м/с} \approx \frac{2 \cdot 1,414}{3} \cdot 3,834 \text{ м/с} \approx 3,61 \text{ м/с}$

Ответ: Скорость движения гирьки составляет примерно 3,61 м/с.

4. Каков период обращения гирьки?

Период обращения $\text{P}$ — это время, за которое гирька совершает один полный оборот. Его можно найти по формуле $P = \frac{2\pi r}{v}$. Однако, удобнее вывести формулу для периода через параметры маятника. Для этого разделим уравнение для проекции на ось OX на уравнение для проекции на ось OY:

$\frac{T \sin \alpha}{T \cos \alpha} = \frac{m a_c}{mg} \implies \tan \alpha = \frac{a_c}{g}$

Центростремительное ускорение выражается через период как $a_c = \omega^2 r = \left(\frac{2\pi}{P}\right)^2 r$. Также мы знаем, что $r = L \sin \alpha$.

$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{(2\pi/P)^2 L \sin \alpha}{g}$

Поскольку движение происходит по окружности, $\alpha \neq 0$ и $\sin \alpha \neq 0$, мы можем сократить на $\sin \alpha$:

$\frac{1}{\cos \alpha} = \frac{4\pi^2 L}{g P^2}$

Выразим отсюда период $\text{P}$:

$P^2 = \frac{4\pi^2 L \cos \alpha}{g} \implies P = 2\pi \sqrt{\frac{L \cos \alpha}{g}}$

Подставим известные значения $L = 0,5$ м, $\cos \alpha = 1/3$ и $g \approx 9,8$ м/с²:

$P = 2\pi \sqrt{\frac{0,5 \text{ м} \cdot (1/3)}{9,8 \text{ м/с²}}} = 2\pi \sqrt{\frac{0,5}{29,4}} \text{ с} \approx 2\pi \sqrt{0,017007} \text{ с} \approx 6,283 \cdot 0,1304 \text{ с} \approx 0,82 \text{ с}$

Ответ: Период обращения гирьки составляет примерно 0,82 с.