Номер 13, страница 119, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 11. Равномерное движение по окружности под действием нескольких сил - номер 13, страница 119.

Условие.

13. Угол наклона велотрека на повороте равен $42^\circ$, а радиус поворота равен 22 м (рис. 11.5). На какой скорости велосипедист сможет пройти этот поворот, если покрытие велотрека будет скользким — например, после дождя или во время гололёда?

Решение 2.

Дано:

Угол наклона, $\alpha = 42°$

Радиус поворота, $R = 22 \text{ м}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Сила трения, $F_{тр} = 0$ (покрытие скользкое)

Найти:

Скорость, $v - ?$

Решение:

На велосипедиста, движущегося по наклонному виражу велотрека, действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно поверхности трека. Поскольку покрытие скользкое, силой трения мы пренебрегаем.

Для того чтобы велосипедист двигался по окружности, равнодействующая приложенных к нему сил должна создавать центростремительное ускорение, направленное горизонтально к центру поворота. Разложим силу нормальной реакции $\vec{N}$ на две составляющие: вертикальную $N_y$ и горизонтальную $N_x$.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат. Ось OY направим вертикально вверх, а ось OX – горизонтально к центру окружности траектории.

В проекции на вертикальную ось OY движение отсутствует, поэтому сумма сил равна нулю:

$N_y - mg = 0$

$N \cos(\alpha) - mg = 0$

Из этого уравнения выразим силу нормальной реакции опоры:

$N = \frac{mg}{\cos(\alpha)}$

В проекции на горизонтальную ось OX равнодействующая сил равна произведению массы на центростремительное ускорение $a_c = \frac{v^2}{R}$:

$N_x = ma_c$

$N \sin(\alpha) = m \frac{v^2}{R}$

Теперь подставим выражение для $\text{N}$ из первого уравнения во второе:

$\frac{mg}{\cos(\alpha)} \sin(\alpha) = m \frac{v^2}{R}$

Масса велосипедиста $\text{m}$ сокращается. Используя тригонометрическое соотношение $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, упростим уравнение:

$g \tan(\alpha) = \frac{v^2}{R}$

Выразим из этого уравнения искомую скорость $\text{v}$:

$v^2 = gR \tan(\alpha)$

$v = \sqrt{gR \tan(\alpha)}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$v = \sqrt{9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 22 \text{ м} \cdot \tan(42°)} \approx \sqrt{215,6 \cdot 0,9004} \approx \sqrt{194,13} \approx 13,93 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: велосипедист сможет пройти поворот на скорости примерно $13,93 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.