Номер 9, страница 118, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 11. Равномерное движение по окружности под действием нескольких сил - номер 9, страница 118.

Условие.

9. Выразите $F_{\text{нат}}$ и $\text{v}$ через $m, l$ и $\alpha$.

Решение 2.

Дано:

m - масса тела

l - длина нити

α - угол отклонения нити от вертикали

Найти:

F_нат - сила натяжения нити

v - скорость тела

Решение:

Данная система представляет собой конический маятник. На тело, движущееся по окружности в горизонтальной плоскости, действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $F_{нат}$, направленная вдоль нити к точке подвеса.

Равнодействующая этих двух сил создает центростремительное ускорение $a_ц$, направленное к центру окружности. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось OY (направлена вверх) и горизонтальную ось OX (направлена к центру окружности).

Выражение для F_нат

В проекции на вертикальную ось OY тело не движется, поэтому сумма сил равна нулю:

$\sum F_Y = F_{нат} \cos(\alpha) - mg = 0$

Из этого уравнения выражаем силу натяжения нити $F_{нат}$:

$F_{нат} \cos(\alpha) = mg$

$F_{нат} = \frac{mg}{\cos(\alpha)}$

Ответ: $F_{нат} = \frac{mg}{\cos(\alpha)}$

Выражение для v

В проекции на горизонтальную ось OX равнодействующая сил равна произведению массы на центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v^2}{r}$:

$\sum F_X = F_{нат} \sin(\alpha) = m a_ц = m \frac{v^2}{r}$

Радиус окружности $\text{r}$ можно выразить через длину нити $\text{l}$ и угол $\alpha$: $r = l \sin(\alpha)$.

Подставим в уравнение для оси OX выражение для $F_{нат}$, найденное ранее, и выражение для радиуса $\text{r}$:

$(\frac{mg}{\cos(\alpha)}) \sin(\alpha) = m \frac{v^2}{l \sin(\alpha)}$

Упростим левую часть, используя определение тангенса $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$:

$mg \tan(\alpha) = \frac{m v^2}{l \sin(\alpha)}$

Сократим массу $\text{m}$ с обеих сторон и выразим $v^2$:

$g \tan(\alpha) = \frac{v^2}{l \sin(\alpha)}$

$v^2 = g l \sin(\alpha) \tan(\alpha)$

Чтобы найти скорость $\text{v}$, извлечем квадратный корень:

$v = \sqrt{g l \sin(\alpha) \tan(\alpha)}$

Ответ: $v = \sqrt{g l \sin(\alpha) \tan(\alpha)}$