Номер 4, страница 116, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 11. Равномерное движение по окружности под действием нескольких сил - номер 4, страница 116.

Условие.

°4. Оцените, с какой скоростью (в километрах в час) автомобиль может совершить поворот на перекрёстке, двигаясь по дуге окружности радиусом 10 м. Рассмотрите движение автомобиля по сухому асфальту и по льду. Коэффициенты трения возьмите в справочных данных.

Ответы на это задание объясняют, почему водитель притормаживает перед поворотом, особенно на скользкой дороге.

Решение 2.

Дано:

Радиус дуги окружности, $R = 10$ м.
Коэффициент трения шин о сухой асфальт (из справочных данных), $\mu_1 \approx 0.8$.
Коэффициент трения шин о лед (из справочных данных), $\mu_2 \approx 0.1$.
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с².

Найти:

Максимальную скорость автомобиля $\text{v}$ (в км/ч) при повороте на сухом асфальте и на льду.

Решение:

При движении автомобиля по дуге окружности на него действует центростремительная сила, которая заставляет его изменять направление движения. Эту силу создает сила трения покоя между шинами и дорожным покрытием. Согласно второму закону Ньютона, центростремительная сила, необходимая для движения по окружности, равна:

$F_{ц} = m a_ц = m \frac{v^2}{R}$

где $\text{m}$ – масса автомобиля, $\text{v}$ – его скорость, $\text{R}$ – радиус поворота.

Сила трения покоя, удерживающая автомобиль на траектории, не может превышать своего максимального значения:

$F_{тр} \le F_{тр, макс} = \mu N$

где $\mu$ – коэффициент трения покоя, а $\text{N}$ – сила нормальной реакции опоры. На горизонтальной дороге сила реакции опоры равна силе тяжести $mg$:

$N = mg$

Следовательно, максимальная сила трения составляет $F_{тр, макс} = \mu mg$.

Чтобы автомобиль не занесло при повороте, необходимая центростремительная сила не должна превышать максимальную силу трения покоя:

$m \frac{v^2}{R} \le \mu mg$

Из этого неравенства можно найти максимальную безопасную скорость, при которой автомобиль еще может удержаться на дуге. Она достигается, когда центростремительная сила равна максимальной силе трения:

$m \frac{v_{макс}^2}{R} = \mu mg$

Масса автомобиля $\text{m}$ сокращается, и мы получаем формулу для максимальной скорости:

$v_{макс}^2 = \mu g R$
$v_{макс} = \sqrt{\mu g R}$

Теперь рассчитаем эту скорость для двух указанных случаев.

Движение автомобиля по сухому асфальту

Используем коэффициент трения для сухого асфальта $\mu_1 = 0.8$.

$v_1 = \sqrt{\mu_1 g R} = \sqrt{0.8 \cdot 9.8 \frac{м}{с^2} \cdot 10 \ м} = \sqrt{78.4} \frac{м}{с} \approx 8.85 \frac{м}{с}$

Для перевода скорости из м/с в км/ч необходимо умножить полученное значение на 3.6:

$v_1 \approx 8.85 \cdot 3.6 \frac{км}{ч} \approx 31.9 \frac{км}{ч}$

Округлим результат до целого значения.

Ответ: Максимальная скорость движения на повороте по сухому асфальту составляет примерно 32 км/ч.

Движение автомобиля по льду

Используем коэффициент трения для льда $\mu_2 = 0.1$.

$v_2 = \sqrt{\mu_2 g R} = \sqrt{0.1 \cdot 9.8 \frac{м}{с^2} \cdot 10 \ м} = \sqrt{9.8} \frac{м}{с} \approx 3.13 \frac{м}{с}$

Переведем скорость в км/ч:

$v_2 \approx 3.13 \cdot 3.6 \frac{км}{ч} \approx 11.3 \frac{км}{ч}$

Округлим результат до целого значения.

Ответ: Максимальная скорость движения на повороте по льду составляет примерно 11 км/ч.

Эти расчеты наглядно объясняют, почему водители притормаживают перед поворотом. Как видно из формулы $v_{макс} = \sqrt{\mu g R}$, максимальная безопасная скорость на повороте прямо зависит от коэффициента трения $\mu$. На скользкой дороге, покрытой льдом, коэффициент трения значительно (в нашем примере в 8 раз) меньше, чем на сухом асфальте. Это приводит к тому, что максимально допустимая скорость снижается в $\sqrt{8} \approx 2.8$ раза. Попытка совершить поворот на скорости, превышающей расчетную максимальную, приведет к тому, что силы трения будет недостаточно для удержания автомобиля. В результате автомобиль сорвется в занос и продолжит движение по траектории с большим радиусом (более прямой), что может привести к аварии.