Номер 24, страница 113, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 10. Тело на наклонной плоскости - номер 24, страница 113.

Условие.

24. Бруску толчком сообщили начальную скорость, направленную вдоль наклонной плоскости вверх. Длина наклонной плоскости 5 м, высота 3 м, коэффициент трения между бруском и плоскостью равен 0,6. Во сколько раз модуль ускорения бруска при его движении вверх вдоль наклонной плоскости больше, чем при последующем движении вниз?

Решение 2.

Дано:

$L = 5$ м

$h = 3$ м

$\mu = 0.6$

Найти:

$\frac{a_{вверх}}{a_{вниз}}$

Решение:

Наклонная плоскость, ее длина $\text{L}$ и высота $\text{h}$ образуют прямоугольный треугольник. Найдем синус и косинус угла наклона плоскости $\alpha$ к горизонту:

$\sin\alpha = \frac{h}{L} = \frac{3}{5} = 0.6$

Используя основное тригонометрическое тождество, найдем косинус угла:

$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (0.6)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$

Рассмотрим движение бруска в двух случаях, используя второй закон Ньютона. Выберем систему координат, в которой ось OX направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось OY — перпендикулярно ей.

1. Движение бруска вверх.

При движении вверх на брусок действуют: проекция силы тяжести $mg\sin\alpha$ (направлена вниз, по оси OX) и сила трения скольжения $F_{тр}$ (также направлена вниз, против движения). Ускорение бруска $a_{вверх}$ направлено вниз, так как скорость уменьшается.

Второй закон Ньютона в проекции на ось OX:

$ma_{вверх} = mg\sin\alpha + F_{тр}$

Сила трения скольжения равна $F_{тр} = \mu N$. Сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ находится из проекции сил на ось OY: $N = mg\cos\alpha$. Таким образом, $F_{тр} = \mu mg\cos\alpha$.

Подставим выражение для силы трения в уравнение движения:

$ma_{вверх} = mg\sin\alpha + \mu mg\cos\alpha$

Сократив массу $\text{m}$, получим формулу для модуля ускорения при движении вверх:

$a_{вверх} = g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)$

2. Движение бруска вниз.

При движении вниз проекция силы тяжести $mg\sin\alpha$ по-прежнему направлена вниз, но сила трения $F_{тр}$ теперь направлена вверх (против движения). Ускорение $a_{вниз}$ направлено вниз.

Второй закон Ньютона в проекции на ось OX:

$ma_{вниз} = mg\sin\alpha - F_{тр}$

Подставляя $F_{тр} = \mu mg\cos\alpha$, получаем:

$ma_{вниз} = mg\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha$

Отсюда модуль ускорения при движении вниз:

$a_{вниз} = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$

3. Отношение модулей ускорений.

Найдем искомое отношение:

$\frac{a_{вверх}}{a_{вниз}} = \frac{g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)}{g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)} = \frac{\sin\alpha + \mu\cos\alpha}{\sin\alpha - \mu\cos\alpha}$

Подставим числовые значения:

$\frac{a_{вверх}}{a_{вниз}} = \frac{0.6 + 0.6 \cdot 0.8}{0.6 - 0.6 \cdot 0.8} = \frac{0.6 + 0.48}{0.6 - 0.48} = \frac{1.08}{0.12} = 9$

Ответ: Модуль ускорения бруска при его движении вверх вдоль наклонной плоскости в 9 раз больше, чем при последующем движении вниз.