Номер 21, страница 113, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 10. Тело на наклонной плоскости - номер 21, страница 113.

Условие.

21. Бусинку нанизали на длинную гладкую спицу, наклонённую под углом $\alpha$ к горизонту, и толкнули вверх вдоль неё. Начальная скорость бусинки $v_0$. Поставьте по этой ситуации три вопроса и найдите ответы на них.

Решение 2.

В рамках данной задачи можно поставить следующие вопросы и дать на них ответы:

Вопрос 1: Какое максимальное расстояние L пройдёт бусинка вдоль спицы?

Дано:
Угол наклона спицы: $α$
Начальная скорость бусинки: $v_0$
Ускорение свободного падения: $\text{g}$
Спица гладкая (трение отсутствует).

Найти:
Максимальное расстояние $\text{L}$.

Решение:
На бусинку действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\text{N}$, направленная перпендикулярно спице. Выберем систему координат, в которой ось $Ox$ направлена вверх вдоль спицы.
Согласно второму закону Ньютона, в проекции на ось $Ox$ на бусинку действует только проекция силы тяжести: $F_x = -mg \sin(α)$.
Эта сила сообщает бусинке ускорение $a_x = a$.
$ma = -mg \sin(α)$
Отсюда ускорение бусинки: $a = -g \sin(α)$. Знак минус указывает, что ускорение направлено против начальной скорости, то есть движение является равнозамедленным.
В наивысшей точке подъёма скорость бусинки становится равной нулю ($v = 0$).
Воспользуемся формулой для перемещения при равноускоренном движении, не содержащей время: $L = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$.
Подставим наши значения:
$L = \frac{0^2 - v_0^2}{2(-g \sin(α))}$
$L = \frac{-v_0^2}{-2g \sin(α)} = \frac{v_0^2}{2g \sin(α)}$.

Ответ: Максимальное расстояние, которое пройдёт бусинка вдоль спицы, равно $L = \frac{v_0^2}{2g \sin(α)}$.

Вопрос 2: Через какое время t₁ бусинка достигнет наивысшей точки своей траектории?

Дано:
Угол наклона спицы: $α$
Начальная скорость бусинки: $v_0$
Ускорение свободного падения: $\text{g}$
Ускорение бусинки: $a = -g \sin(α)$.

Найти:
Время подъёма $t_1$.

Решение:
Движение бусинки вдоль спицы вверх является равнозамедленным с ускорением $a = -g \sin(α)$. В наивысшей точке подъёма скорость бусинки обращается в ноль.
Воспользуемся формулой для скорости при равноускоренном движении: $v = v_0 + at$.
Подставим $v = 0$ и $t = t_1$:
$0 = v_0 + (-g \sin(α))t_1$
$g t_1 \sin(α) = v_0$
$t_1 = \frac{v_0}{g \sin(α)}$.

Ответ: Бусинка достигнет наивысшей точки через время $t_1 = \frac{v_0}{g \sin(α)}$.

Вопрос 3: С какой скоростью v бусинка вернётся в исходную точку?

Дано:
Угол наклона спицы: $α$
Начальная скорость бусинки: $v_0$
Ускорение свободного падения: $\text{g}$.

Найти:
Скорость $\text{v}$ при возвращении в исходную точку.

Решение:
Поскольку спица гладкая, трение отсутствует. Сила нормальной реакции опоры перпендикулярна перемещению и работы не совершает. Сила тяжести является консервативной. Следовательно, для системы "бусинка-Земля" выполняется закон сохранения полной механической энергии.
Выберем начальное положение бусинки за нулевой уровень потенциальной энергии ($h=0$). Тогда в начальный момент времени полная энергия $E_1 = E_{k1} + E_{p1} = \frac{mv_0^2}{2} + 0$.
Когда бусинка вернётся в исходную точку, её высота снова будет равна нулю ($h=0$), следовательно, её потенциальная энергия также будет равна нулю: $E_{p2} = 0$. Полная энергия в этот момент $E_2 = E_{k2} + E_{p2} = \frac{mv^2}{2} + 0$.
По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:
$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$
$v_0^2 = v^2$
$|v| = |v_0|$.
Это означает, что модуль скорости бусинки при возвращении в исходную точку равен модулю её начальной скорости. Однако направление скорости будет противоположным. Если начальная скорость $v_0$ была направлена вверх вдоль спицы, то конечная скорость $\text{v}$ будет направлена вниз вдоль спицы.
Векторно это можно записать как $\vec{v} = -\vec{v_0}$.

Ответ: Модуль скорости бусинки при возвращении в исходную точку равен начальной скорости $v_0$, а направление скорости противоположно начальному.