Номер 19, страница 113, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 10. Тело на наклонной плоскости - номер 19, страница 113.

Условие.

19. Найдите угол наклона плоскости, при котором сила нормальной реакции, действующая на брусок со стороны наклонной плоскости, в 1,41 раза меньше силы тяжести.

Решение 2.

Дано:

Сила нормальной реакции $\text{N}$ в $k = 1,41$ раза меньше силы тяжести $F_g$.

$\frac{F_g}{N} = k = 1,41$

Найти:

Угол наклона плоскости $\alpha$ - ?

Решение:

На брусок, находящийся на наклонной плоскости, действуют сила тяжести $F_g$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции $\text{N}$, направленная перпендикулярно плоскости.

Выберем систему координат, в которой ось OY направлена перпендикулярно наклонной плоскости вверх, а ось OX — вдоль наклонной плоскости вниз. Угол наклона плоскости к горизонту равен $\alpha$.

Сила тяжести определяется формулой $F_g = mg$, где $\text{m}$ — масса бруска, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Разложим силу тяжести $F_g$ на две составляющие: параллельную наклонной плоскости ($F_{g\parallel}$) и перпендикулярную ей ($F_{g\perp}$).

Компонента силы тяжести, перпендикулярная наклонной плоскости, равна:

$F_{g\perp} = F_g \cos(\alpha) = mg \cos(\alpha)$

Поскольку брусок не движется в направлении, перпендикулярном плоскости, то силы, действующие вдоль оси OY, скомпенсированы. Согласно второму закону Ньютона, сумма проекций сил на ось OY равна нулю:

$N - F_{g\perp} = 0$

Отсюда следует, что сила нормальной реакции равна по модулю перпендикулярной составляющей силы тяжести:

$N = F_{g\perp} = mg \cos(\alpha)$

По условию задачи сила нормальной реакции в 1,41 раза меньше силы тяжести:

$N = \frac{F_g}{1,41} = \frac{mg}{1,41}$

Приравняем два полученных выражения для силы $\text{N}$:

$mg \cos(\alpha) = \frac{mg}{1,41}$

Сократим $mg$ в обеих частях уравнения:

$\cos(\alpha) = \frac{1}{1,41}$

Заметим, что число 1,41 является приближенным значением $\sqrt{2}$.

$\cos(\alpha) \approx \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, составляет $45^\circ$.

$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$

Ответ: угол наклона плоскости равен $45^\circ$.