Номер 13, страница 111, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 10. Тело на наклонной плоскости - номер 13, страница 111.

Условие.

13. Брусок скользит вниз с верхней точки наклонной плоскости длиной 2 м с начальной скоростью 2 м/с. Угол наклона плоскости $30^\circ$. Коэффициент трения между бруском и плоскостью 0,7.

а) Будет скорость бруска увеличиваться или уменьшаться?

б) Чему равен модуль ускорения бруска?

в) Какой путь пройдёт брусок по наклонной плоскости?

Решение 2.

Дано:

$L = 2$ м

$v_0 = 2$ м/с

$\alpha = 30^{\circ}$

$\mu = 0,7$

$g \approx 9,8$ м/с² (ускорение свободного падения)

Все данные уже в системе СИ.

Найти:

а) Будет скорость увеличиваться или уменьшаться?

б) $\text{a}$ - ?

в) $\text{s}$ - ?

Решение:

Для решения задачи используем второй закон Ньютона. Выберем систему координат, в которой ось $Ox$ направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей вверх.

На брусок действуют три силы: сила тяжести ($m\vec{g}$), сила нормальной реакции опоры ($\vec{N}$) и сила трения скольжения ($\vec{F}_{тр}$).

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат:

Проекция на ось $Oy$: $N - mg\cos\alpha = 0 \implies N = mg\cos\alpha$

Проекция на ось $Ox$: $mg\sin\alpha - F_{тр} = ma$

Сила трения скольжения определяется как $F_{тр} = \mu N$. Подставив выражение для $\text{N}$, получим: $F_{тр} = \mu mg\cos\alpha$.

Теперь подставим силу трения в уравнение для оси $Ox$:

$mg\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha = ma$

Массу $\text{m}$ можно сократить:

$a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$

Это выражение позволит нам найти ускорение бруска и определить характер изменения его скорости.

а) Будет скорость бруска увеличиваться или уменьшаться?

Характер движения (ускорение или замедление) зависит от знака ускорения. Если ускорение сонаправлено с начальной скоростью (положительно в нашей системе координат), скорость будет увеличиваться. Если направлено против (отрицательно), скорость будет уменьшаться. Сравним составляющую силы тяжести, направленную вдоль плоскости, и силу трения.

Движущая сила (проекция силы тяжести): $F_{||} = mg\sin\alpha$

Сила трения: $F_{тр} = \mu mg\cos\alpha$

Сравним множители $\sin\alpha$ и $\mu\cos\alpha$:

$\sin30^{\circ} = 0,5$

$\mu\cos30^{\circ} = 0,7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,7 \cdot 0,866 = 0,6062$

Так как $0,6062 > 0,5$, то сила трения $F_{тр}$ больше, чем составляющая силы тяжести $F_{||}$. Это означает, что равнодействующая сила направлена против движения (вверх по наклонной плоскости), и брусок будет замедляться. Его скорость будет уменьшаться.

Ответ: Скорость бруска будет уменьшаться.

б) Чему равен модуль ускорения бруска?

Используем выведенную ранее формулу для ускорения:

$a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$

Подставим числовые значения:

$a = 9,8 \cdot (\sin30^{\circ} - 0,7 \cdot \cos30^{\circ}) = 9,8 \cdot (0,5 - 0,7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) \approx 9,8 \cdot (0,5 - 0,6062) = 9,8 \cdot (-0,1062) \approx -1,04$ м/с²

Знак "минус" подтверждает, что ускорение направлено против оси $Ox$, то есть вверх по наклонной плоскости, и движение является равнозамедленным. Модуль ускорения равен абсолютному значению этой величины.

Ответ: $|a| \approx 1,04$ м/с².

в) Какой путь пройдёт брусок по наклонной плоскости?

Поскольку брусок движется с постоянным отрицательным ускорением, он остановится, когда его конечная скорость $\text{v}$ станет равна нулю. Путь $\text{s}$, пройденный до остановки, можно найти по формуле кинематики:

$v^2 = v_0^2 + 2as$

Отсюда выразим путь $\text{s}$:

$s = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$

Подставим известные значения ($v=0$, $v_0=2$ м/с, $a \approx -1,04$ м/с²):

$s = \frac{0^2 - 2^2}{2 \cdot (-1,04)} = \frac{-4}{-2,08} \approx 1,92$ м

Длина наклонной плоскости $L = 2$ м. Так как полученный путь $s \approx 1,92$ м меньше длины плоскости $\text{L}$, брусок остановится, не достигнув ее конца.

Ответ: Брусок пройдёт по наклонной плоскости путь, равный примерно $1,92$ м.