Номер 8, страница 109, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 10. Тело на наклонной плоскости - номер 8, страница 109.

Условие.

8. На рисунке 10.4 изображены силы, действующие на брусок массой $\text{m}$, покоящийся на наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$.

a) Назовите действующие на брусок силы.

б) Почему сила трения покоя направ-лена вдоль наклонной плоскости вверх?

в) Запишите второй закон Ньютона для покоящегося бруска в вектор-ной форме.

Рис. 10.4

г) Запишите выражения для проекций сил, действующих на брусок, на показанные на рисунке 10.4 оси координат.

д) Запишите второй закон Ньютона для бруска в проекциях на оси координат в виде системы уравнений.

е) Получите из этой системы уравнений выражения для силы трения покоя и силы нормальной реакции.

Выполнив предыдущее задание, вы можете удивиться тому, что в выражение для силы трения покоя не входит коэффициент трения. Но вспомним теперь, что сила трения покоя не превышает максимальной силы трения покоя, которую в школьном курсе физики принимают равной силе трения скольжения.

ж) Запишите неравенство, справедливое для силы трения покоя.

з) Подставив в написанное неравенство полученные выражения для силы трения покоя и силы нормальной реакции, получи-те неравенство, которое связывает угол наклона плоскости $\alpha$ с коэффициентом трения $\mu$.

Итак, мы пришли к выводу, что тело может находиться в покое на наклонной плоскости, если выполняется неравенство

$tg \alpha \leq \mu$.

Это неравенство можно использовать для измерения коэффици-ента трения на опыте. Рассмотрим пример.

Решение 2.

а) На брусок, находящийся в покое на наклонной плоскости, действуют три силы:
1. Сила тяжести ($m\vec{g}$) – направлена вертикально вниз, приложена к центру масс бруска.
2. Сила нормальной реакции опоры ($\vec{N}$) – направлена перпендикулярно (нормально) поверхности наклонной плоскости вверх.
3. Сила трения покоя ($\vec{F}_{\text{тр. пок.}}$) – направлена вдоль наклонной плоскости, в сторону, противоположную возможному движению. В данном случае – вверх.
Ответ: Сила тяжести $m\vec{g}$, сила нормальной реакции $\vec{N}$ и сила трения покоя $\vec{F}_{\text{тр. пок.}}$.

б) Силу тяжести $m\vec{g}$ можно разложить на две составляющие: одну, перпендикулярную наклонной плоскости ($mg \cos \alpha$), и другую, параллельную ей ($mg \sin \alpha$). Параллельная составляющая, называемая скатывающей силой, направлена вниз вдоль наклонной плоскости и стремится сдвинуть брусок. Сила трения покоя всегда препятствует возможному движению. Поэтому для удержания бруска в равновесии сила трения покоя должна быть направлена в противоположную сторону, то есть вверх вдоль наклонной плоскости.
Ответ: Сила трения покоя направлена вверх, так как она уравновешивает скатывающую компоненту силы тяжести, которая направлена вниз вдоль наклонной плоскости.

в) Согласно второму закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение ($\sum \vec{F} = m\vec{a}$). Поскольку брусок находится в покое, его ускорение $\vec{a} = 0$. Следовательно, векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю.
Ответ: $m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{\text{тр. пок.}} = \vec{0}$.

г) Запишем проекции всех сил на оси координат $Ox$ и $Oy$, показанные на рисунке. Ось $Ox$ направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей вверх.
Проекции на ось $Ox$:
Проекция силы тяжести: $(m\vec{g})_x = mg \sin \alpha$
Проекция силы нормальной реакции: $(\vec{N})_x = 0$
Проекция силы трения покоя: $(\vec{F}_{\text{тр. пок.}})_x = -F_{\text{тр. пок.}}$
Проекции на ось $Oy$:
Проекция силы тяжести: $(m\vec{g})_y = -mg \cos \alpha$
Проекция силы нормальной реакции: $(\vec{N})_y = N$
Проекция силы трения покоя: $(\vec{F}_{\text{тр. пок.}})_y = 0$
Ответ: Проекции на ось $Ox$: $mg \sin \alpha$, $\text{0}$, $-F_{\text{тр. пок.}}$. Проекции на ось $Oy$: $-mg \cos \alpha$, $\text{N}$, $\text{0}$.

д) Второй закон Ньютона в проекциях на оси координат утверждает, что сумма проекций всех сил на каждую ось равна произведению массы на проекцию ускорения. Так как брусок покоится, $a_x = 0$ и $a_y = 0$.
Проекция на ось $Ox$: $mg \sin \alpha - F_{\text{тр. пок.}} = 0$.
Проекция на ось $Oy$: $N - mg \cos \alpha = 0$.
Ответ: $$\begin{cases} mg \sin \alpha - F_{\text{тр. пок.}} = 0 \\ N - mg \cos \alpha = 0 \end{cases}$$

е) Решим систему уравнений, полученную в предыдущем пункте, чтобы найти выражения для силы трения покоя и силы нормальной реакции.
Из первого уравнения получаем: $F_{\text{тр. пок.}} = mg \sin \alpha$.
Из второго уравнения получаем: $N = mg \cos \alpha$.
Ответ: $F_{\text{тр. пок.}} = mg \sin \alpha$ и $N = mg \cos \alpha$.

ж) Сила трения покоя не является постоянной величиной. Она может изменяться от нуля до максимального значения $F_{\text{тр. пок. max}}$. Тело останется в покое до тех пор, пока действующая на него сила трения покоя не превысит это максимальное значение. Максимальная сила трения покоя пропорциональна силе нормальной реакции: $F_{\text{тр. пок. max}} = \mu N$, где $\mu$ — коэффициент трения покоя. Таким образом, условие покоя тела записывается в виде неравенства.
Ответ: $F_{\text{тр. пок.}} \le \mu N$.

з) Воспользуемся неравенством из пункта ж) и подставим в него выражения для $F_{\text{тр. пок.}}$ и $\text{N}$ из пункта е).
$mg \sin \alpha \le \mu (mg \cos \alpha)$.
Сократим обе части неравенства на положительную величину $mg$:
$\sin \alpha \le \mu \cos \alpha$.
Поскольку угол наклона плоскости $\alpha$ находится в пределах от $\text{0}$ до $90^\circ$, $\cos \alpha > 0$. Разделим обе части неравенства на $\cos \alpha$, при этом знак неравенства не изменится:
$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \le \mu$.
Так как $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \text{tg } \alpha$, получаем окончательное условие, при котором тело будет находиться в покое на наклонной плоскости.
Ответ: $\text{tg } \alpha \le \mu$.