Номер 4, страница 108, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 10. Тело на наклонной плоскости - номер 4, страница 108.

Условие.

4. Брусок соскальзывает с верхней точки гладкой наклонной плоскости с углом наклона $30^{\circ}$ до её нижней точки. Начальная скорость бруска равна нулю, а длина наклонной плоскости равна 2 м.

а) С каким ускорением движется брусок?

б) Сколько времени будет скользить брусок вдоль всей наклонной плоскости?

в) Чему равна скорость бруска в конце спуска?

Решение 2.

Дано:
Угол наклона плоскости, $\alpha = 30^\circ$
Начальная скорость, $v_0 = 0$ м/с
Длина наклонной плоскости, $L = 2$ м
Примем ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:
а) $\text{a}$ - ?
б) $\text{t}$ - ?
в) $\text{v}$ - ?

Решение:

На брусок, скользящий по гладкой наклонной плоскости, действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно плоскости. Так как плоскость гладкая, сила трения отсутствует.

Выберем систему координат: ось $Ox$ направим вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей вверх.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение: $m\vec{a} = m\vec{g} + \vec{N}$.

Спроецируем это уравнение на ось $Ox$. Проекция силы тяжести на эту ось равна $mg_x = mg \sin(\alpha)$. Проекция силы нормальной реакции на ось $Ox$ равна нулю. Таким образом, уравнение движения в проекции на ось $Ox$ имеет вид:

$ma = mg \sin(\alpha)$

а) С каким ускорением движется брусок?
Из уравнения второго закона Ньютона для оси $Ox$ выразим ускорение $\text{a}$:
$a = g \sin(\alpha)$
Подставим числовые значения:
$a = 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot \sin(30^\circ) = 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 0.5 = 4.9 \text{ м/с}^2$
Ответ: ускорение бруска равно $4.9 \text{ м/с}^2$.

б) Сколько времени будет скользить брусок вдоль всей наклонной плоскости?
Движение бруска является равноускоренным. Путь, пройденный телом при равноускоренном движении из состояния покоя ($v_0=0$), определяется формулой:
$L = v_0 t + \frac{at^2}{2} = \frac{at^2}{2}$
Выразим из этой формулы время $\text{t}$:
$t^2 = \frac{2L}{a} \implies t = \sqrt{\frac{2L}{a}}$
Подставим известные значения:
$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 2 \text{ м}}{4.9 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{4}{4.9}} \text{ с} \approx 0.90 \text{ с}$
Ответ: брусок будет скользить примерно $0.90$ с.

в) Чему равна скорость бруска в конце спуска?
Скорость тела в конце пути при равноускоренном движении из состояния покоя можно найти по формуле, не содержащей время:
$v^2 = v_0^2 + 2aL$
Поскольку начальная скорость $v_0=0$, получаем:
$v = \sqrt{2aL}$
Подставим числовые значения:
$v = \sqrt{2 \cdot 4.9 \text{ м/с}^2 \cdot 2 \text{ м}} = \sqrt{19.6} \text{ м/с} \approx 4.43 \text{ м/с}$
Ответ: скорость бруска в конце спуска равна примерно $4.43 \text{ м/с}$.