Номер 5, страница 108, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 10. Тело на наклонной плоскости - номер 5, страница 108.

Условие.

5. Брусок скользит после толчка вверх по гладкой наклонной плоскости и возвращается в начальную точку. Начальная скорость бруска $v_0$, угол наклона плоскости $\alpha$.

а) Запишите выражение для времени $t_1$ движения бруска по наклонной плоскости вверх.

б) Запишите выражение для времени $t_2$ движения бруска по наклонной плоскости вниз.

в) Запишите выражение для пути $\text{l}$, пройденного бруском до возвращения в начальную точку.

Решение 2.

Дано

Начальная скорость бруска: $v_0$

Угол наклона плоскости: $\alpha$

Наклонная плоскость гладкая (трение отсутствует).

Найти:

$t_1$ - время движения вверх.

$t_2$ - время движения вниз.

$\text{l}$ - общий пройденный путь.

Решение

Выберем систему координат, в которой ось $Ox$ направлена вверх вдоль наклонной плоскости, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей. На брусок действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\text{N}$, направленная перпендикулярно наклонной плоскости.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил равна произведению массы на ускорение: $\vec{F} = m\vec{a}$.

Спроецируем силы на ось $Ox$. Сила нормальной реакции $\text{N}$ перпендикулярна оси $Ox$, поэтому ее проекция равна нулю. Проекция силы тяжести на ось $Ox$ равна $-mg \sin(\alpha)$ (знак "минус" указывает на то, что эта сила направлена против движения вверх).

Таким образом, уравнение движения в проекции на ось $Ox$ имеет вид:

$-mg \sin(\alpha) = ma$

Отсюда находим ускорение бруска:

$a = -g \sin(\alpha)$

Ускорение постоянно и направлено вниз вдоль наклонной плоскости как при движении вверх, так и при движении вниз.

а) Запишите выражение для времени $t_1$ движения бруска по наклонной плоскости вверх.

Движение вверх является равнозамедленным. Брусок движется вверх до тех пор, пока его скорость не станет равной нулю. Воспользуемся формулой скорости для равноускоренного движения: $v(t) = v_0 + at$.

В конечной точке подъема $v(t_1) = 0$. Подставим известные значения:

$0 = v_0 + (-g \sin(\alpha)) \cdot t_1$

$g \sin(\alpha) \cdot t_1 = v_0$

Отсюда выражаем время подъема $t_1$:

$t_1 = \frac{v_0}{g \sin(\alpha)}$

Ответ: $t_1 = \frac{v_0}{g \sin(\alpha)}$

б) Запишите выражение для времени $t_2$ движения бруска по наклонной плоскости вниз.

Движение вниз начинается из состояния покоя с верхней точки траектории. Брусок движется равноускоренно с тем же по модулю ускорением $a = g \sin(\alpha)$ и проходит то же расстояние, что и при подъеме. Поскольку ускорение постоянно и начальная/конечная скорости для подъема и спуска меняются местами (0 и $v_0$), время движения вниз будет равно времени движения вверх.

Докажем это. Сначала найдем максимальную высоту подъема $\text{s}$ (путь, пройденный вверх):

$s = v_0 t_1 + \frac{at_1^2}{2} = v_0 \left(\frac{v_0}{g \sin(\alpha)}\right) - \frac{g \sin(\alpha)}{2} \left(\frac{v_0}{g \sin(\alpha)}\right)^2 = \frac{v_0^2}{g \sin(\alpha)} - \frac{v_0^2}{2g \sin(\alpha)} = \frac{v_0^2}{2g \sin(\alpha)}$

Теперь рассмотрим движение вниз. Начальная скорость равна 0, пройденный путь равен $\text{s}$.

$s = \frac{|a|t_2^2}{2} = \frac{g \sin(\alpha) t_2^2}{2}$

Приравняем выражения для $\text{s}$:

$\frac{v_0^2}{2g \sin(\alpha)} = \frac{g \sin(\alpha) t_2^2}{2}$

$v_0^2 = (g \sin(\alpha))^2 t_2^2$

$t_2^2 = \frac{v_0^2}{(g \sin(\alpha))^2}$

$t_2 = \frac{v_0}{g \sin(\alpha)}$

Как и ожидалось, $t_1 = t_2$.

Ответ: $t_2 = \frac{v_0}{g \sin(\alpha)}$

в) Запишите выражение для пути $\text{l}$, пройденного бруском до возвращения в начальную точку.

Общий путь $\text{l}$ равен сумме пути, пройденного вверх ($s_{вверх}$), и пути, пройденного вниз ($s_{вниз}$). Так как брусок возвращается в начальную точку, эти пути равны.

$l = s_{вверх} + s_{вниз}$

$s_{вверх} = s_{вниз} = s = \frac{v_0^2}{2g \sin(\alpha)}$

$l = 2s = 2 \cdot \frac{v_0^2}{2g \sin(\alpha)} = \frac{v_0^2}{g \sin(\alpha)}$

Ответ: $l = \frac{v_0^2}{g \sin(\alpha)}$