Номер 11, страница 111, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 10. Тело на наклонной плоскости - номер 11, страница 111.

Условие.

11. На рисунке 10.6 изображены силы, действующие на брусок массой $\text{m}$, скользящий вниз по шероховатой наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$.

Рис. 10.6

а) Назовите действующие на брусок силы.

б) Почему сила трения скольжения направлена вдоль наклонной плоскости вверх?

в) Запишите второй закон Ньютона для скользящего бруска в векторной форме.

г) Запишите второй закон Ньютона для бруска в проекциях на показанные на рисунке оси координат в виде системы уравнений.

д) Выразите силу трения скольжения через коэффициент трения и силу нормальной реакции.

е) Подставьте выражение для силы трения скольжения в систему уравнений, выражающих второй закон Ньютона в проекциях на оси координат. Используя эту систему уравнений, выразите проекцию ускорения бруска на ось $\text{x}$ через угол наклона плоскости и коэффициент трения.

ж) При каком условии скорость бруска будет увеличиваться, а при каком — уменьшаться?

Решение 2.

а) На брусок действуют три силы:
1. Сила тяжести ($m\vec{g}$), направленная вертикально вниз.
2. Сила нормальной реакции опоры ($\vec{N}$), направленная перпендикулярно поверхности наклонной плоскости вверх.
3. Сила трения скольжения ($\vec{F}_{тр.ск}$), направленная вдоль наклонной плоскости вверх, то есть против направления движения.

Ответ: Сила тяжести ($m\vec{g}$), сила нормальной реакции опоры ($\vec{N}$), сила трения скольжения ($\vec{F}_{тр.ск}$).

б) Сила трения скольжения всегда направлена в сторону, противоположную вектору относительной скорости соприкасающихся тел. Поскольку брусок скользит вниз по наклонной плоскости, вектор его скорости $\vec{v}$ направлен вниз. Следовательно, сила трения скольжения $\vec{F}_{тр.ск}$ направлена в противоположную сторону — вверх вдоль наклонной плоскости.

Ответ: Сила трения скольжения направлена против вектора скорости относительного движения. Так как брусок движется вниз, сила трения направлена вверх.

в) Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение. В векторной форме для данного бруска закон выглядит следующим образом:

$m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр.ск} = m\vec{a}$

Ответ: $m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр.ск} = m\vec{a}$.

г) Решение: Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат, показанные на рисунке. Ось $Ox$ направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей вверх. Брусок движется только вдоль оси $Ox$, поэтому проекция ускорения на ось $Oy$ равна нулю ($a_y = 0$), а на ось $Ox$ равна $a_x = a$.

Проекции сил на ось $Ox$:

$mg_x = mg \sin(\alpha)$

$N_x = 0$

$F_{тр.ск, x} = -F_{тр.ск}$

Уравнение для оси $Ox$: $mg \sin(\alpha) - F_{тр.ск} = ma$.

Проекции сил на ось $Oy$:

$mg_y = -mg \cos(\alpha)$

$N_y = N$

$F_{тр.ск, y} = 0$

Уравнение для оси $Oy$: $N - mg \cos(\alpha) = 0$.

Ответ: $$\begin{cases}mg \sin(\alpha) - F_{тр.ск} = ma \\N - mg \cos(\alpha) = 0\end{cases}$$

д) Сила трения скольжения $F_{тр.ск}$ по определению равна произведению коэффициента трения скольжения $\mu$ на модуль силы нормальной реакции $\text{N}$.

Ответ: $F_{тр.ск} = \mu N$.

е) Решение: Чтобы выразить проекцию ускорения бруска $a_x = a$, воспользуемся системой уравнений из пункта г) и формулой для силы трения из пункта д).

Из второго уравнения системы $N - mg \cos(\alpha) = 0$ выражаем силу нормальной реакции:

$N = mg \cos(\alpha)$.

Подставляем это выражение в формулу для силы трения:

$F_{тр.ск} = \mu N = \mu mg \cos(\alpha)$.

Теперь подставляем полученное выражение для $F_{тр.ск}$ в первое уравнение системы $mg \sin(\alpha) - F_{тр.ск} = ma$:

$mg \sin(\alpha) - \mu mg \cos(\alpha) = ma$.

Сокращаем массу $\text{m}$ и выносим $\text{g}$ за скобки, чтобы получить выражение для ускорения $\text{a}$:

$a = g(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$.

Ответ: $a_x = g(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$.

ж) Решение: Скорость бруска направлена вниз по наклонной плоскости (вдоль положительного направления оси $Ox$).

Скорость бруска будет увеличиваться (движение равноускоренное), если проекция ускорения на ось $Ox$ будет положительной ($a_x > 0$).

$g(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha)) > 0$

Поскольку $g > 0$ и для наклонной плоскости $\cos(\alpha) > 0$, получаем:

$\sin(\alpha) > \mu \cos(\alpha) \implies \tan(\alpha) > \mu$.

Скорость бруска будет уменьшаться (движение равнозамедленное), если проекция ускорения на ось $Ox$ будет отрицательной ($a_x < 0$).

$g(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha)) < 0$

$\sin(\alpha) < \mu \cos(\alpha) \implies \tan(\alpha) < \mu$.

Ответ: Скорость бруска будет увеличиваться при условии $\tan(\alpha) > \mu$, а уменьшаться — при условии $\tan(\alpha) < \mu$.