Номер 12, страница 111, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 10. Тело на наклонной плоскости - номер 12, страница 111.

Условие.

12. На наклонную плоскость с углом наклона $\alpha = 30^{\circ}$ кладут брусок. Коэффициент трения между бруском и плоскостью равен 0,4. Начнёт ли брусок соскальзывать с наклонной плоскости, и если да, то чему будет равно его ускорение?

Решение 2.

Дано:

Угол наклона плоскости $\alpha = 30^\circ$

Коэффициент трения $\mu = 0,4$

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \, м/с^2$

Найти:

Начнёт ли брусок соскальзывать?

Ускорение бруска $\text{a}$ - ?

Решение:

Для того чтобы определить, начнёт ли брусок соскальзывать, необходимо сравнить скатывающую силу с максимальной силой трения покоя.

На брусок действуют: сила тяжести $mg$, сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ и сила трения $F_{тр}$.

Выберем систему координат, в которой ось $Ox$ направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей вверх.

Скатывающая сила — это проекция силы тяжести на ось $Ox$: $F_{скат} = mg \sin\alpha$.

Сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ уравновешивает проекцию силы тяжести на ось $Oy$: $N = mg \cos\alpha$.

Максимальная сила трения покоя $F_{тр.макс}$ пропорциональна силе нормальной реакции:

$F_{тр.макс} = \mu N = \mu mg \cos\alpha$

Брусок начнёт движение, если скатывающая сила будет больше максимальной силы трения покоя:

$F_{скат} > F_{тр.макс}$

$mg \sin\alpha > \mu mg \cos\alpha$

Разделив обе части неравенства на $mg \cos\alpha$ (поскольку $m>0$, $g>0$ и $\cos(30^\circ)>0$), получим условие начала скольжения:

$\tan\alpha > \mu$

Подставим известные значения:

$\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,577$

Сравниваем: $0,577 > 0,4$.

Так как условие выполняется, брусок начнёт соскальзывать с наклонной плоскости.

Теперь найдём ускорение бруска. Когда брусок движется, на него действует сила трения скольжения, направленная против движения (вверх по наклонной плоскости). Согласно второму закону Ньютона, в проекции на ось $Ox$:

$ma = F_{скат} - F_{тр.ск}$

$ma = mg \sin\alpha - \mu mg \cos\alpha$

Сократив массу $\text{m}$, получим формулу для ускорения:

$a = g(\sin\alpha - \mu \cos\alpha)$

Подставим числовые значения:

$a = 9,8 \cdot (\sin(30^\circ) - 0,4 \cdot \cos(30^\circ)) = 9,8 \cdot (0,5 - 0,4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) \approx 9,8 \cdot (0,5 - 0,4 \cdot 0,866) = 9,8 \cdot (0,5 - 0,3464) = 9,8 \cdot 0,1536 \approx 1,505 \, м/с^2$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $a \approx 1,5 \, м/с^2$.

Ответ:

Да, брусок начнёт соскальзывать, так как тангенс угла наклона плоскости ($\approx 0,577$) больше коэффициента трения (0,4). Ускорение бруска будет равно $a \approx 1,5 \, м/с^2$.