Номер 17, страница 113, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 10. Тело на наклонной плоскости - номер 17, страница 113.

Условие.

17. Брусок толкнули вверх по наклонной плоскости с углом наклона $45^\circ$. Он двигался в течение 2 с вверх, а затем в течение 3 с возвращался в начальную точку.

а) Чему равно отношение модуля ускорения бруска при движении вверх к модулю ускорения бруска при движении вниз?

б) Чему равен коэффициент трения между бруском и плоскостью?

Решение 2.

Дано:

Угол наклона плоскости: $\alpha = 45°$

Время движения вверх: $t_1 = 2 \text{ с}$

Время движения вниз: $t_2 = 3 \text{ с}$

Найти:

а) $\frac{a_1}{a_2}$

б) $\mu$

Решение:

Обозначим расстояние, которое брусок прошел по наклонной плоскости до остановки, как $\text{S}$. Это расстояние одинаково как для движения вверх, так и для движения вниз.

Движение вверх является равнозамедленным. Начальная скорость $v_0$, конечная скорость в верхней точке равна 0. Путь $\text{S}$ можно выразить через модуль ускорения $a_1$ и время движения $t_1$ по формуле: $S = \frac{a_1 t_1^2}{2}$.

Движение вниз является равноускоренным. Начальная скорость в верхней точке равна 0. Путь $\text{S}$ можно выразить через модуль ускорения $a_2$ и время движения $t_2$: $S = \frac{a_2 t_2^2}{2}$.

а) Чему равно отношение модуля ускорения бруска при движении вверх к модулю ускорения бруска при движении вниз?

Поскольку путь, пройденный бруском вверх и вниз, одинаков, мы можем приравнять выражения для $\text{S}$:

$\frac{a_1 t_1^2}{2} = \frac{a_2 t_2^2}{2}$

Умножив обе части на 2, получим:

$a_1 t_1^2 = a_2 t_2^2$

Из этого уравнения выразим отношение модулей ускорений $\frac{a_1}{a_2}$:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{t_2^2}{t_1^2} = (\frac{t_2}{t_1})^2$

Подставим заданные значения времени:

$\frac{a_1}{a_2} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} = 2.25$

Ответ: 2,25.

б) Чему равен коэффициент трения между бруском и плоскостью?

Для нахождения коэффициента трения $\mu$ запишем второй закон Ньютона для движения бруска вверх и вниз. Направим ось $Ox$ вдоль наклонной плоскости, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей.

При движении вверх на брусок действуют: проекция силы тяжести на ось $Ox$ ($mg \sin\alpha$) и сила трения ($F_{тр}$), обе направлены вниз, против движения. Ускорение $a_1$ также направлено вниз.

Второй закон Ньютона в проекции на ось $Ox$: $ma_1 = mg \sin\alpha + F_{тр}$.

В проекции на ось $Oy$: $N - mg \cos\alpha = 0$, откуда сила нормальной реакции $N = mg \cos\alpha$.

Сила трения $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos\alpha$.

Подставим $F_{тр}$ в уравнение для оси $Ox$: $ma_1 = mg \sin\alpha + \mu mg \cos\alpha$.

Сократив массу $\text{m}$, получим выражение для ускорения $a_1$: $a_1 = g(\sin\alpha + \mu \cos\alpha)$.

При движении вниз проекция силы тяжести $mg \sin\alpha$ направлена вниз, а сила трения $F_{тр}$ — вверх, против движения. Ускорение $a_2$ направлено вниз.

Второй закон Ньютона в проекции на ось $Ox$: $ma_2 = mg \sin\alpha - F_{тр}$.

Выражение для $a_2$: $a_2 = g(\sin\alpha - \mu \cos\alpha)$.

Теперь составим отношение выражений для ускорений и приравняем его к значению, полученному в пункте а):

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{g(\sin\alpha + \mu \cos\alpha)}{g(\sin\alpha - \mu \cos\alpha)} = \frac{\sin\alpha + \mu \cos\alpha}{\sin\alpha - \mu \cos\alpha} = \frac{9}{4}$

Подставим значение угла $\alpha = 45°$. Учитывая, что $\sin 45° = \cos 45°$, можно сократить эти слагаемые (или, что то же самое, разделить числитель и знаменатель на $\cos 45°$):

$\frac{1 + \mu}{1 - \mu} = \frac{9}{4}$

Решим полученное уравнение относительно $\mu$:

$4(1 + \mu) = 9(1 - \mu)$

$4 + 4\mu = 9 - 9\mu$

$13\mu = 5$

$\mu = \frac{5}{13}$

Вычислим приближенное значение: $\mu \approx 0,385$.

Ответ: $\frac{5}{13} \approx 0,385$.