Номер 15, страница 112, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 10. Тело на наклонной плоскости - номер 15, страница 112.

Условие.

15. Брусок толкнули вверх с начальной скоростью $v_0 = 5 м/с$ вдоль длинной наклонной плоскости с углом наклона $\alpha = 30^\circ$. Коэффициент трения между бруском и плоскостью $\mu = 0,3$.

а) Запишите второй закон Ньютона для бруска при его движении по наклонной плоскости вверх в виде системы уравнений для проекций на оси координат.

б) Выразите модуль ускорения бруска при его движении по наклонной плоскости вверх через угол наклона плоскости и коэффициент трения. Найдите значение ускорения.

в) Выразите время $t_1$ движения бруска по наклонной плоскости вверх через $v_0, \alpha, \mu$. Найдите значение этого времени.

г) Выразите путь, пройденный бруском при его движении вверх, через $v_0, \alpha, \mu$. Найдите значение этого пути.

д) Объясните, почему брусок начнёт соскальзывать с наклонной плоскости после того момента, когда его скорость станет равной нулю.

е) Выразите ускорение бруска при его движении по наклонной плоскости вниз через угол наклона плоскости и коэффициент трения. Найдите значение ускорения.

ж) Выразите время $t_2$ движения бруска по наклонной плоскости вниз при возвращении в начальную точку через $v_0, \alpha, \mu$. Вычислите это время.

Решение 2.

Дано:

$v_0 = 5$ м/с

$\alpha = 30^\circ$

$\mu = 0.3$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

а) Систему уравнений второго закона Ньютона при движении вверх.

б) Ускорение $a_1$ при движении вверх.

в) Время движения вверх $t_1$.

г) Путь $\text{s}$, пройденный вверх.

д) Объяснение, почему брусок начнёт соскальзывать.

е) Ускорение $a_2$ при движении вниз.

ж) Время движения вниз $t_2$.

Решение:

а) Запишите второй закон Ньютона для бруска при его движении по наклонной плоскости вверх в виде системы уравнений для проекций на оси координат.

Направим ось Ox вдоль наклонной плоскости вверх, а ось Oy перпендикулярно ей. На брусок действуют сила тяжести $m\vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ и сила трения скольжения $\vec{F}_{тр}$. При движении вверх сила трения направлена вниз, против движения.

Второй закон Ньютона в векторной форме: $m\vec{a}_1 = m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр}$.

Проекции на оси координат:

На ось Ox: $ma_{1x} = -mg \sin\alpha - F_{тр}$

На ось Oy: $ma_{1y} = N - mg \cos\alpha$

Поскольку брусок движется вдоль оси Ox, $a_{1y} = 0$. Ускорение направлено против движения (вниз), поэтому его проекция на ось Ox отрицательна: $a_{1x} = -a_1$, где $a_1$ — модуль ускорения.

Система уравнений имеет вид:

$$\begin{cases}-ma_1 = -mg \sin\alpha - F_{тр} \\0 = N - mg \cos\alpha\end{cases}$$

Учитывая, что $F_{тр} = \mu N$, систему можно переписать как:

$$\begin{cases}ma_1 = mg \sin\alpha + \mu N \\N = mg \cos\alpha\end{cases}$$

Ответ: Система уравнений в проекциях на оси Ox (вверх по плоскости) и Oy (перпендикулярно плоскости):$$\begin{cases}ma_{1x} = -mg \sin\alpha - F_{тр} \\0 = N - mg \cos\alpha\end{cases}$$

б) Выразите модуль ускорения бруска при его движении по наклонной плоскости вверх через угол наклона плоскости и коэффициент трения. Найдите значение ускорения.

Из второго уравнения системы (пункт а) выразим силу нормальной реакции: $N = mg \cos\alpha$.

Сила трения: $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos\alpha$.

Подставим $F_{тр}$ в первое уравнение $ma_1 = mg \sin\alpha + F_{тр}$:

$ma_1 = mg \sin\alpha + \mu mg \cos\alpha$.

Сократив массу $\text{m}$, получим выражение для модуля ускорения $a_1$:

$a_1 = g (\sin\alpha + \mu \cos\alpha)$.

Вычислим значение, приняв $g \approx 9.8$ м/с²:

$a_1 = 9.8 \cdot (\sin30^\circ + 0.3 \cdot \cos30^\circ) = 9.8 \cdot (0.5 + 0.3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) \approx 9.8 \cdot (0.5 + 0.3 \cdot 0.866) \approx 9.8 \cdot 0.7598 \approx 7.45$ м/с².

Ответ: $a_1 = g (\sin\alpha + \mu \cos\alpha) \approx 7.45$ м/с².

в) Выразите время $t_1$ движения бруска по наклонной плоскости вверх через $v_0$, $\alpha$, $\mu$. Найдите значение этого времени.

Движение вверх является равнозамедленным. В верхней точке траектории скорость бруска становится равной нулю. Воспользуемся формулой скорости: $v = v_0 - a_1 t$.

При $t=t_1$ скорость $v=0$, следовательно, $0 = v_0 - a_1 t_1$.

Отсюда время движения вверх: $t_1 = \frac{v_0}{a_1}$.

Подставим выражение для $a_1$ из пункта б):

$t_1 = \frac{v_0}{g (\sin\alpha + \mu \cos\alpha)}$.

Вычислим значение:

$t_1 = \frac{5}{7.45} \approx 0.67$ с.

Ответ: $t_1 = \frac{v_0}{g (\sin\alpha + \mu \cos\alpha)} \approx 0.67$ с.

г) Выразите путь, пройденный бруском при его движении вверх, через $v_0$, $\alpha$, $\mu$. Найдите значение этого пути.

Путь, пройденный при равнозамедленном движении до остановки, можно найти по формуле $s = \frac{v_0^2}{2a_1}$.

Подставим выражение для $a_1$:

$s = \frac{v_0^2}{2g (\sin\alpha + \mu \cos\alpha)}$.

Вычислим значение:

$s = \frac{5^2}{2 \cdot 7.45} = \frac{25}{14.9} \approx 1.68$ м.

Ответ: $s = \frac{v_0^2}{2g (\sin\alpha + \mu \cos\alpha)} \approx 1.68$ м.

д) Объясните, почему брусок начнёт соскальзывать с наклонной плоскости после того момента, когда его скорость станет равной нулю.

Когда брусок останавливается в верхней точке, на него действуют сила тяжести, сила нормальной реакции опоры и сила трения покоя, направленная вверх по плоскости. Брусок начнет соскальзывать вниз, если скатывающая сила (проекция силы тяжести на наклонную плоскость) окажется больше максимальной силы трения покоя.

Скатывающая сила: $F_{скат} = mg \sin\alpha$.

Максимальная сила трения покоя: $F_{тр.пок.макс} = \mu N = \mu mg \cos\alpha$.

Условие соскальзывания: $F_{скат} > F_{тр.пок.макс}$, то есть $mg \sin\alpha > \mu mg \cos\alpha$.

Сократив $mg$, получим: $\sin\alpha > \mu \cos\alpha$, или $\tan\alpha > \mu$.

Проверим это условие для заданных значений:

$\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$.

$\mu = 0.3$.

Так как $0.577 > 0.3$, условие выполняется.

Ответ: Брусок начнет соскальзывать, так как скатывающая компонента силы тяжести ($mg \sin\alpha$) больше максимальной силы трения покоя ($\mu mg \cos\alpha$), что эквивалентно условию $\tan\alpha > \mu$, которое выполняется для данных в задаче значений ($0.577 > 0.3$).

е) Выразите ускорение бруска при его движении по наклонной плоскости вниз через угол наклона плоскости и коэффициент трения. Найдите значение ускорения.

При движении вниз сила трения скольжения $\vec{F}_{тр}$ направлена вверх по плоскости, против движения. Направим ось Ox вниз вдоль наклонной плоскости. Тогда второй закон Ньютона в проекции на ось Ox примет вид:

$ma_2 = mg \sin\alpha - F_{тр}$.

Сила трения по-прежнему равна $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos\alpha$.

$ma_2 = mg \sin\alpha - \mu mg \cos\alpha$.

Сократив массу $\text{m}$, получим выражение для ускорения $a_2$ при движении вниз:

$a_2 = g (\sin\alpha - \mu \cos\alpha)$.

Вычислим значение:

$a_2 = 9.8 \cdot (\sin30^\circ - 0.3 \cdot \cos30^\circ) = 9.8 \cdot (0.5 - 0.3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) \approx 9.8 \cdot (0.5 - 0.2598) \approx 9.8 \cdot 0.2402 \approx 2.35$ м/с².

Ответ: $a_2 = g (\sin\alpha - \mu \cos\alpha) \approx 2.35$ м/с².

ж) Выразите время $t_2$ движения бруска по наклонной плоскости вниз при возвращении в начальную точку через $v_0$, $\alpha$, $\mu$. Вычислите это время.

Движение вниз является равноускоренным с начальной скоростью, равной нулю. Брусок проходит тот же путь $\text{s}$, что и при движении вверх. Воспользуемся формулой пути: $s = \frac{a_2 t_2^2}{2}$.

Отсюда время движения вниз: $t_2 = \sqrt{\frac{2s}{a_2}}$.

Подставим выражения для $\text{s}$ из пункта г) и для $a_2$ из пункта е):

$s = \frac{v_0^2}{2g (\sin\alpha + \mu \cos\alpha)}$ и $a_2 = g (\sin\alpha - \mu \cos\alpha)$.

$t_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot \frac{v_0^2}{2g (\sin\alpha + \mu \cos\alpha)}}{g (\sin\alpha - \mu \cos\alpha)}} = \sqrt{\frac{v_0^2}{g^2 (\sin\alpha + \mu \cos\alpha)(\sin\alpha - \mu \cos\alpha)}} = \sqrt{\frac{v_0^2}{g^2 (\sin^2\alpha - \mu^2 \cos^2\alpha)}}$.

$t_2 = \frac{v_0}{g \sqrt{\sin^2\alpha - \mu^2 \cos^2\alpha}}$.

Вычислим значение, используя найденные ранее $s \approx 1.68$ м и $a_2 \approx 2.35$ м/с²:

$t_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot 1.68}{2.35}} = \sqrt{\frac{3.36}{2.35}} \approx \sqrt{1.4298} \approx 1.196$ с.

Округлим до двух значащих цифр после запятой: $1.20$ с.

Ответ: $t_2 = \frac{v_0}{g \sqrt{\sin^2\alpha - \mu^2 \cos^2\alpha}} \approx 1.20$ с.