Номер 14, страница 112, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 10. Тело на наклонной плоскости - номер 14, страница 112.

Условие.

14. Брусок находится в верхней точке наклонной плоскости длиной $L = 2$ м. Угол наклона плоскости $\alpha = 20^\circ$, коэффициент трения между бруском и плоскостью $\mu = 0,5$. Какую начальную скорость $v_0$, направленную вдоль наклонной плоскости вниз, надо сообщить бруску, чтобы он достиг нижней точки наклонной плоскости?

Решение 2.

Дано:

$L = 2$ м

$\alpha = 20^\circ$

$\mu = 0,5$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с².

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$v_0$ - начальную скорость бруска.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии в форме теоремы об изменении кинетической энергии. Согласно этой теореме, изменение кинетической энергии тела равно суммарной работе всех сил, действующих на него:

$\Delta E_k = A_{total}$

В начальный момент времени, в верхней точке наклонной плоскости, брусок обладает начальной скоростью $v_0$, и его кинетическая энергия равна $E_{k0} = \frac{mv_0^2}{2}$. Чтобы брусок достиг нижней точки наклонной плоскости, его конечная скорость может быть равной нулю (это соответствует минимально необходимой начальной скорости). Таким образом, конечная кинетическая энергия $E_k = 0$.

Изменение кинетической энергии:

$\Delta E_k = E_k - E_{k0} = 0 - \frac{mv_0^2}{2} = -\frac{mv_0^2}{2}$

На брусок во время движения действуют три силы: сила тяжести ($mg$), сила нормальной реакции опоры ($\text{N}$) и сила трения скольжения ($F_{тр}$). Найдем работу, совершаемую каждой из этих сил.

1. Работа силы тяжести ($A_g$). Сила тяжести направлена вертикально вниз. При смещении бруска на расстояние $\text{L}$ вдоль наклонной плоскости, его высота уменьшается на $h = L \sin\alpha$. Работа силы тяжести положительна:

$A_g = mgh = mgL\sin\alpha$

2. Работа силы нормальной реакции опоры ($A_N$). Эта сила перпендикулярна вектору перемещения бруска, поэтому ее работа равна нулю:

$A_N = 0$

3. Работа силы трения ($A_{тр}$). Сила трения направлена против движения, поэтому ее работа отрицательна. Величина силы трения скольжения определяется как $F_{тр} = \mu N$. Чтобы найти силу нормальной реакции $\text{N}$, запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, перпендикулярную наклонной плоскости. Так как в этом направлении движения нет, ускорение равно нулю:

$N - mg\cos\alpha = 0 \implies N = mg\cos\alpha$

Следовательно, сила трения равна:

$F_{тр} = \mu mg\cos\alpha$

Работа силы трения на пути $\text{L}$:

$A_{тр} = -F_{тр}L = -\mu mgL\cos\alpha$

Суммарная работа всех сил:

$A_{total} = A_g + A_N + A_{тр} = mgL\sin\alpha + 0 - \mu mgL\cos\alpha = mgL(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$

Теперь приравняем изменение кинетической энергии и суммарную работу:

$-\frac{mv_0^2}{2} = mgL(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$

Масса бруска $\text{m}$ сокращается. Умножим обе части уравнения на -1:

$\frac{v_0^2}{2} = -gL(\sin\alpha - \mu\cos\alpha) = gL(\mu\cos\alpha - \sin\alpha)$

Выразим начальную скорость $v_0$:

$v_0^2 = 2gL(\mu\cos\alpha - \sin\alpha)$

$v_0 = \sqrt{2gL(\mu\cos\alpha - \sin\alpha)}$

Подставим числовые значения. Значения тригонометрических функций для угла $20^\circ$:

$\sin(20^\circ) \approx 0,342$

$\cos(20^\circ) \approx 0,940$

$v_0 = \sqrt{2 \cdot 9,8 \, \text{м/с²} \cdot 2 \, \text{м} \cdot (0,5 \cdot 0,940 - 0,342)}$

$v_0 = \sqrt{39,2 \cdot (0,470 - 0,342)}$

$v_0 = \sqrt{39,2 \cdot 0,128}$

$v_0 = \sqrt{5,0176} \approx 2,24 \, \text{м/с}$

Ответ: начальная скорость, которую надо сообщить бруску, составляет примерно $2,24$ м/с.