Номер 16, страница 112, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 10. Тело на наклонной плоскости - номер 16, страница 112.

Условие.

16. После толчка брусок скользил по наклонной плоскости вверх, а затем вернулся в начальную точку. Угол наклона плоскости $30^\circ$. Коэффициент трения между бруском и плоскостью равен 0,5.

а) Когда модуль ускорения бруска больше: при движении вверх или при движении вниз? Во сколько раз?

б) Что длится дольше: движение бруска вверх или движение бруска вниз? Во сколько раз?

Решение 2.

Дано:

Угол наклона плоскости $α = 30°$.

Коэффициент трения $μ = 0,5$.

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \, м/с^2$.

Все данные, кроме $\text{g}$, являются безразмерными величинами или в стандартных единицах, не требующих перевода в СИ.

Найти:

а) Когда модуль ускорения больше и во сколько раз: $\frac{a_{вверх}}{a_{вниз}}$?

б) Что длится дольше и во сколько раз: $\frac{t_{вниз}}{t_{вверх}}$?

Решение:

а) Когда модуль ускорения бруска больше: при движении вверх или при движении вниз? Во сколько раз?

Рассмотрим силы, действующие на брусок, в двух случаях.

1. Движение бруска вверх по наклонной плоскости.

На брусок действуют сила тяжести $mg$, сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ и сила трения скольжения $F_{тр}$. Выберем систему координат, в которой ось $OX$ направлена вдоль наклонной плоскости вверх, а ось $OY$ – перпендикулярно ей.

Согласно второму закону Ньютона в проекциях на оси координат:

$OX: -mg \sin α - F_{тр} = -ma_{вверх}$

$OY: N - mg \cos α = 0 \implies N = mg \cos α$

Сила трения скольжения определяется как $F_{тр} = μN = μmg \cos α$.

Подставим силу трения в уравнение для оси $OX$:

$ma_{вверх} = mg \sin α + μmg \cos α$

Отсюда модуль ускорения при движении вверх:

$a_{вверх} = g(\sin α + μ \cos α)$

2. Движение бруска вниз по наклонной плоскости.

В этом случае сила трения $F_{тр}$ направлена в противоположную сторону (вверх по плоскости), так как она всегда противодействует движению. Направим ось $OX$ вниз по наклонной плоскости.

$OX: mg \sin α - F_{тр} = ma_{вниз}$

Сила нормальной реакции $\text{N}$ и, следовательно, сила трения $F_{тр}$ остаются такими же по модулю.

$ma_{вниз} = mg \sin α - μmg \cos α$

Отсюда модуль ускорения при движении вниз:

$a_{вниз} = g(\sin α - μ \cos α)$

Сравним модули ускорений:

Так как $\sin α + μ \cos α > \sin α - μ \cos α$, то $a_{вверх} > a_{вниз}$. Модуль ускорения больше при движении вверх.

Найдем их отношение:

$\frac{a_{вверх}}{a_{вниз}} = \frac{g(\sin α + μ \cos α)}{g(\sin α - μ \cos α)} = \frac{\sin α + μ \cos α}{\sin α - μ \cos α}$

Подставим числовые значения: $α = 30°$, $μ = 0,5$.

$\sin 30° = 0,5$

$\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{a_{вверх}}{a_{вниз}} = \frac{0,5 + 0,5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{0,5 - 0,5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 + \sqrt{3})$:

$\frac{(2 + \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{(2 + \sqrt{3})^2}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4 + 4\sqrt{3} + 3}{4 - 3} = 7 + 4\sqrt{3}$

Приблизительное значение: $7 + 4 \cdot 1,732 \approx 7 + 6,928 = 13,928$.

Ответ: Модуль ускорения больше при движении вверх в $7 + 4\sqrt{3}$ раз (приблизительно в 13,93 раза).

б) Что длится дольше: движение бруска вверх или движение бруска вниз? Во сколько раз?

Брусок проходит одинаковый путь $\text{L}$ вверх и вниз. Движение в обоих случаях равноускоренное.

При движении вверх начальная скорость $v_0$, конечная скорость $v=0$.

Время подъема: $L = \frac{v_0^2}{2a_{вверх}} \implies v_0 = \sqrt{2La_{вверх}}$.

Также $v = v_0 - a_{вверх} t_{вверх} \implies 0 = v_0 - a_{вверх} t_{вверх} \implies t_{вверх} = \frac{v_0}{a_{вверх}}$.

При движении вниз начальная скорость равна нулю, брусок проходит тот же путь $\text{L}$.

Время спуска: $L = \frac{a_{вниз}t_{вниз}^2}{2} \implies t_{вниз} = \sqrt{\frac{2L}{a_{вниз}}}$.

Найдем отношение времени спуска ко времени подъема. Для этого выразим $\text{L}$ из формулы для $t_{вверх}$ через $v_0$ и подставим в формулу для $t_{вниз}$.

$t_{вниз} = \sqrt{\frac{2}{a_{вниз}} \cdot \frac{v_0^2}{2a_{вверх}}} = \frac{v_0}{\sqrt{a_{вверх}a_{вниз}}}$.

Теперь найдем отношение:

$\frac{t_{вниз}}{t_{вверх}} = \frac{v_0 / \sqrt{a_{вверх}a_{вниз}}}{v_0 / a_{вверх}} = \frac{a_{вверх}}{\sqrt{a_{вверх}a_{вниз}}} = \sqrt{\frac{a_{вверх}^2}{a_{вверх}a_{вниз}}} = \sqrt{\frac{a_{вверх}}{a_{вниз}}}$

Так как из пункта а) мы знаем, что $a_{вверх} > a_{вниз}$, то и отношение $\frac{a_{вверх}}{a_{вниз}} > 1$, следовательно, $\sqrt{\frac{a_{вверх}}{a_{вниз}}} > 1$. Это означает, что $t_{вниз} > t_{вверх}$, то есть движение вниз длится дольше.

Подставим найденное в пункте а) значение отношения ускорений:

$\frac{t_{вниз}}{t_{вверх}} = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$

Упростим вложенный корень, представив подкоренное выражение как полный квадрат:

$7 + 4\sqrt{3} = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2 + \sqrt{3})^2$

Следовательно:

$\frac{t_{вниз}}{t_{вверх}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = 2 + \sqrt{3}$

Приблизительное значение: $2 + 1,732 = 3,732$.

Ответ: Движение бруска вниз длится дольше, чем движение вверх, в $2 + \sqrt{3}$ раз (приблизительно в 3,73 раза).