Номер 3, страница 107, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 10. Тело на наклонной плоскости - номер 3, страница 107.

Условие.

3. На рисунке 10.2 изображены силы, действующие на брусок массой $\text{m}$, находящийся на гладкой наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$.

a) Назовите действующие на брусок силы.

б) Запишите второй закон Ньютона для бруска в векторной форме.

Рис. 10.2

Векторные уравнения удобно записывать в проекциях на оси координат: тогда каждое векторное уравнение преобразуется в систему обычных уравнений для проекций векторных величин. Чтобы записать второй закон Ньютона в проекциях на оси координат, находят сначала проекции на оси координат всех действующих на тело сил и ускорения тела.

в) Запишите выражения для проекций сил, действующих на брусок, и проекций ускорения бруска на показанные на рисунке 10.2 оси координат.

г) Запишите второй закон Ньютона для бруска в проекциях на оси координат в виде системы уравнений.

д) Используя эту систему уравнений, найдите выражение для модуля ускорения бруска.

е) Почему ускорение бруска не зависит от его массы?

ж) При каком угле наклона плоскости модуль ускорения бруска в 2 раза меньше модуля ускорения свободного падения?

з) Найдите выражение для модуля действующей на брусок силы нормальной реакции (оно понадобится далее, когда надо будет учитывать силу трения).

и) При каком угле наклона плоскости модуль действующей на брусок силы нормальной реакции в 2 раза меньше силы тяжести?

Решение 2.

а) Назовите действующие на брусок силы.

На брусок, находящийся на гладкой наклонной плоскости, действуют две силы:

1. Сила тяжести ($m\vec{g}$), направленная вертикально вниз.
2. Сила нормальной реакции опоры ($\vec{N}$), направленная перпендикулярно поверхности наклонной плоскости вверх.

Так как плоскость гладкая, сила трения отсутствует.

Ответ: Сила тяжести ($m\vec{g}$) и сила нормальной реакции ($\vec{N}$).

б) Запишите второй закон Ньютона для бруска в векторной форме.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение: $\sum \vec{F} = m\vec{a}$.

Для данного бруска векторная сумма сил равна $\vec{N} + m\vec{g}$. Следовательно, второй закон Ньютона в векторной форме запишется так:

$\vec{N} + m\vec{g} = m\vec{a}$

Ответ: $\vec{N} + m\vec{g} = m\vec{a}$.

в) Запишите выражения для проекций сил, действующих на брусок, и проекций ускорения бруска на показанные на рисунке 10.2 оси координат.

В системе координат, где ось Ox направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось Oy — перпендикулярно ей вверх, найдем проекции векторов.

Проекции на ось Ox:

• Сила тяжести $m\vec{g}$: катет, противолежащий углу $\alpha$, поэтому проекция положительна: $(mg)_x = mg \sin\alpha$.
• Сила нормальной реакции $\vec{N}$: вектор перпендикулярен оси Ox, поэтому проекция равна нулю: $N_x = 0$.
• Ускорение $\vec{a}$: вектор сонаправлен с осью Ox: $a_x = a$.

Проекции на ось Oy:

• Сила тяжести $m\vec{g}$: катет, прилежащий к углу $\alpha$, направлен в отрицательную сторону оси Oy: $(mg)_y = -mg \cos\alpha$.
• Сила нормальной реакции $\vec{N}$: вектор сонаправлен с осью Oy: $N_y = N$.
• Ускорение $\vec{a}$: вектор перпендикулярен оси Oy, брусок не движется в этом направлении: $a_y = 0$.

Ответ: Проекции сил: $(mg)_x = mg \sin\alpha$, $(mg)_y = -mg \cos\alpha$, $N_x = 0$, $N_y = N$. Проекции ускорения: $a_x = a$, $a_y = 0$.

г) Запишите второй закон Ньютона для бруска в проекциях на оси координат в виде системы уравнений.

Запишем векторное уравнение $\vec{N} + m\vec{g} = m\vec{a}$ в проекциях на оси Ox и Oy, используя выражения из пункта (в).

Проекция на ось Ox: $N_x + (mg)_x = ma_x \implies 0 + mg \sin\alpha = ma$.

Проекция на ось Oy: $N_y + (mg)_y = ma_y \implies N - mg \cos\alpha = m \cdot 0$.

Таким образом, система уравнений имеет вид:

$\begin{cases} mg \sin\alpha = ma \\ N - mg \cos\alpha = 0 \end{cases}$

Ответ: $\begin{cases} mg \sin\alpha = ma \\ N - mg \cos\alpha = 0 \end{cases}$.

д) Используя эту систему уравнений, найдите выражение для модуля ускорения бруска.

Для нахождения модуля ускорения бруска $\text{a}$ воспользуемся первым уравнением системы, полученной в пункте (г):

$mg \sin\alpha = ma$

Разделим обе части уравнения на массу $\text{m}$ (поскольку $m \neq 0$):

$g \sin\alpha = a$

Ответ: $a = g \sin\alpha$.

е) Почему ускорение бруска не зависит от его массы?

Ускорение бруска, как следует из формулы $a = g \sin\alpha$, не зависит от его массы. Это объясняется тем, что движущая сила (проекция силы тяжести на ось Ox, равная $mg \sin\alpha$) пропорциональна массе, и инертная масса тела (его сопротивление изменению скорости) также равна $\text{m}$. При расчете ускорения по второму закону Ньютона ($a = F_x/m$) масса сокращается:

$a = \frac{mg \sin\alpha}{m} = g \sin\alpha$

Ответ: Ускорение не зависит от массы, так как и движущая сила (проекция силы тяжести), и инертность тела (масса) прямо пропорциональны массе, в результате чего масса сокращается в уравнении второго закона Ньютона.

ж) При каком угле наклона плоскости модуль ускорения бруска в 2 раза меньше модуля ускорения свободного падения?

Дано:
$a = \frac{g}{2}$

Найти:
$\alpha$

Решение:
Используем формулу для модуля ускорения, полученную в пункте (д): $a = g \sin\alpha$.
Подставим в нее заданное условие $a = g/2$:
$\frac{g}{2} = g \sin\alpha$
Разделив обе части на $\text{g}$ (где $g \neq 0$), получаем:
$\sin\alpha = \frac{1}{2}$
Учитывая, что угол наклона плоскости $\alpha$ находится в диапазоне $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$, находим угол:
$\alpha = \arcsin(\frac{1}{2}) = 30^\circ$

Ответ: $30^\circ$.

з) Найдите выражение для модуля действующей на брусок силы нормальной реакции (оно понадобится далее, когда надо будет учитывать силу трения).

Для нахождения выражения для модуля силы нормальной реакции $\text{N}$ воспользуемся вторым уравнением системы, полученной в пункте (г):

$N - mg \cos\alpha = 0$

Выразим из этого уравнения $\text{N}$:

$N = mg \cos\alpha$

Ответ: $N = mg \cos\alpha$.

и) При каком угле наклона плоскости модуль действующей на брусок силы нормальной реакции в 2 раза меньше силы тяжести?

Дано:
Сила тяжести: $F_т = mg$
Условие: $N = \frac{F_т}{2} = \frac{mg}{2}$

Найти:
$\alpha$

Решение:
Используем формулу для модуля силы нормальной реакции, полученную в пункте (з): $N = mg \cos\alpha$.
Подставим в нее заданное условие $N = mg/2$:
$\frac{mg}{2} = mg \cos\alpha$
Разделив обе части на $mg$ (где $m \neq 0, g \neq 0$), получаем:
$\cos\alpha = \frac{1}{2}$
Учитывая, что угол наклона плоскости $\alpha$ находится в диапазоне $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$, находим угол:
$\alpha = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$.