Номер 22, страница 105, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 9. Силы трения - номер 22, страница 105.

Условие.

22. К лежащему на столе бруску под углом $\alpha = 30^\circ$ к горизонту прикреплена рукоятка (рис. 9.11). Чтобы равномерно перемещать брусок, толкая его силой, направленной вдоль рукоятки, надо прикладывать силу $\vec{F}_1$, а если тянуть брусок силой, приложенной тоже вдоль рукоятки, то для равномерного перемещения надо прикладывать силу $\vec{F}_2$. Чему равно отношение модулей этих сил, если коэффициент трения между бруском и столом равен 0,4?

Рис. 9.11

Решение 2.

Дано:

Угол наклона рукоятки к горизонту $\alpha = 30^\circ$.

Коэффициент трения между бруском и столом $\mu = 0,4$.

Найти:

Отношение модулей сил $\frac{F_1}{F_2}$.

Решение:

По условию задачи, в обоих случаях брусок перемещается равномерно. Это означает, что его ускорение равно нулю ($a=0$). Согласно первому закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на брусок, равна нулю. Рассмотрим оба случая.

1. Брусок толкают с силой $F_1$.

Сила $F_1$ направлена под углом $\alpha$ вниз к горизонту. Выберем систему координат, в которой ось OX направлена горизонтально в сторону движения, а ось OY – вертикально вверх. На брусок действуют четыре силы: сила тяжести ($mg$), направленная вниз; сила нормальной реакции опоры ($N_1$), направленная вверх; приложенная сила ($F_1$); и сила трения скольжения ($F_{тр1}$), направленная против движения.

Запишем уравнения первого закона Ньютона в проекциях на оси координат:

На ось OY: $N_1 - mg - F_1 \sin\alpha = 0$

Отсюда выразим силу нормальной реакции опоры: $N_1 = mg + F_1 \sin\alpha$. Вертикальная составляющая силы $F_1$ прижимает брусок к столу, увеличивая силу реакции опоры.

На ось OX: $F_1 \cos\alpha - F_{тр1} = 0$

Сила трения скольжения определяется как $F_{тр1} = \mu N_1 = \mu(mg + F_1 \sin\alpha)$. Подставим это выражение в уравнение для оси OX:

$F_1 \cos\alpha - \mu(mg + F_1 \sin\alpha) = 0$

$F_1 \cos\alpha - \mu mg - \mu F_1 \sin\alpha = 0$

$F_1(\cos\alpha - \mu \sin\alpha) = \mu mg$

Отсюда находим модуль силы $F_1$:

$F_1 = \frac{\mu mg}{\cos\alpha - \mu \sin\alpha}$

2. Брусок тянут с силой $F_2$.

Сила $F_2$ направлена под углом $\alpha$ вверх к горизонту. Силы, действующие на брусок, те же, но направление приложенной силы изменилось. Запишем уравнения в проекциях на те же оси:

На ось OY: $N_2 + F_2 \sin\alpha - mg = 0$

Отсюда сила нормальной реакции опоры: $N_2 = mg - F_2 \sin\alpha$. Вертикальная составляющая силы $F_2$ приподнимает брусок, уменьшая силу реакции опоры.

На ось OX: $F_2 \cos\alpha - F_{тр2} = 0$

Сила трения скольжения: $F_{тр2} = \mu N_2 = \mu(mg - F_2 \sin\alpha)$. Подставим в уравнение для оси OX:

$F_2 \cos\alpha - \mu(mg - F_2 \sin\alpha) = 0$

$F_2 \cos\alpha - \mu mg + \mu F_2 \sin\alpha = 0$

$F_2(\cos\alpha + \mu \sin\alpha) = \mu mg$

Отсюда находим модуль силы $F_2$:

$F_2 = \frac{\mu mg}{\cos\alpha + \mu \sin\alpha}$

3. Найдём отношение модулей сил $\frac{F_1}{F_2}$.

Разделим выражение для $F_1$ на выражение для $F_2$:

$\frac{F_1}{F_2} = \frac{\frac{\mu mg}{\cos\alpha - \mu \sin\alpha}}{\frac{\mu mg}{\cos\alpha + \mu \sin\alpha}} = \frac{\mu mg}{\cos\alpha - \mu \sin\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha + \mu \sin\alpha}{\mu mg}$

$\frac{F_1}{F_2} = \frac{\cos\alpha + \mu \sin\alpha}{\cos\alpha - \mu \sin\alpha}$

Подставим числовые значения $\alpha = 30^\circ$ и $\mu = 0,4$:

$\sin 30^\circ = 0,5$

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$

$\frac{F_1}{F_2} = \frac{0,866 + 0,4 \cdot 0,5}{0,866 - 0,4 \cdot 0,5} = \frac{0,866 + 0,2}{0,866 - 0,2} = \frac{1,066}{0,666} \approx 1,6$

Ответ: отношение модулей этих сил равно 1,6.