Номер 25, страница 114, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 10. Тело на наклонной плоскости - номер 25, страница 114.

Условие.

25. По столу перемещают гладкий клин с углом наклона $\alpha$ так, что находящийся на нём брусок массой $\text{m}$ покоится относительно клина (рис. 10.7).

а) Чему равно ускорение клина?

б) Чему равна сила нормальной реакции, действующая на брусок со стороны клина?

Рис. 10.7

Решение 2.

Дано:

Масса бруска: $\text{m}$

Угол наклона клина: $\alpha$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Клин гладкий, трения нет.

Брусок покоится относительно клина.

Найти:

а) Ускорение клина $\text{a}$ - ?

б) Сила нормальной реакции $\text{N}$ - ?

Решение:

Поскольку брусок покоится относительно клина, он движется вместе с клином как единое целое. Это означает, что брусок имеет такое же ускорение $\vec{a}$, как и клин. Ускорение клина направлено горизонтально.

Рассмотрим силы, действующие на брусок в инерциальной системе отсчета, связанной со столом. На брусок действуют две силы: сила тяжести $\vec{F}_т = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно поверхности клина.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает бруску ускорение $\vec{a}$:

$m\vec{g} + \vec{N} = m\vec{a}$

Выберем систему координат: ось OX направим горизонтально в сторону движения клина, а ось OY — вертикально вверх. Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекциях на эти оси.

Сила нормальной реакции $\vec{N}$ составляет с вертикальной осью OY угол $\alpha$. Тогда ее проекции на оси будут:

$N_x = N \sin(\alpha)$

$N_y = N \cos(\alpha)$

Проекции силы тяжести:

$F_{тx} = 0$

$F_{тy} = -mg$

Проекции ускорения:

$a_x = a$

$a_y = 0$

Запишем уравнения в проекциях:

На ось OX: $N \sin(\alpha) = ma$ (1)

На ось OY: $N \cos(\alpha) - mg = 0$ (2)

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $\text{a}$ и $\text{N}$.

а) Чему равно ускорение клина?

Из второго уравнения выразим силу нормальной реакции $\text{N}$:

$N \cos(\alpha) = mg \implies N = \frac{mg}{\cos(\alpha)}$

Подставим это выражение для $\text{N}$ в первое уравнение:

$\frac{mg}{\cos(\alpha)} \sin(\alpha) = ma$

Разделим обе части уравнения на $\text{m}$ ($m \neq 0$) и используем тригонометрическое тождество $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$:

$g \tan(\alpha) = a$

Таким образом, ускорение клина равно $a = g \tan(\alpha)$.

Ответ: $a = g \tan(\alpha)$

б) Чему равна сила нормальной реакции, действующая на брусок со стороны клина?

Для нахождения силы нормальной реакции воспользуемся выражением, полученным из уравнения для оси OY:

$N = \frac{mg}{\cos(\alpha)}$

Ответ: $N = \frac{mg}{\cos(\alpha)}$