Номер 5, страница 116, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 11. Равномерное движение по окружности под действием нескольких сил - номер 5, страница 116.

Условие.

°5. Каков наименьший радиус окружности, по которой автомобиль может равномерно двигаться со скоростью 60 км/ч, если коэффициент трения между колёсами и дорогой равен 0,5?

Решение 2.

Дано:

$v = 60 \text{ км/ч}$
$\mu = 0.5$
$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Переведём скорость в систему СИ (м/с):
$v = 60 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 60 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{600}{36} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{50}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 16.67 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

$R_{min}$ - ?

Решение:

При движении автомобиля по окружности на горизонтальной поверхности единственной силой, направленной к центру окружности, является сила трения покоя $F_{тр}$. Эта сила и сообщает автомобилю центростремительное ускорение $a_ц$.

Согласно второму закону Ньютона:
$F_{тр} = m \cdot a_ц$

Центростремительное ускорение выражается формулой:
$a_ц = \frac{v^2}{R}$
где $\text{v}$ - скорость автомобиля, а $\text{R}$ - радиус окружности.

Таким образом, $F_{тр} = m \frac{v^2}{R}$.

Сила трения покоя не может превышать своего максимального значения:
$F_{тр} \le F_{тр, макс}$

Максимальная сила трения покоя равна:
$F_{тр, макс} = \mu N$
где $\mu$ - коэффициент трения, $\text{N}$ - сила нормальной реакции опоры.

На горизонтальной дороге сила реакции опоры уравновешивает силу тяжести:
$N = mg$

Следовательно, $F_{тр, макс} = \mu mg$.

Чтобы автомобиль не соскальзывал с траектории, необходимо, чтобы требуемая центростремительная сила не превышала максимальную силу трения:
$m \frac{v^2}{R} \le \mu mg$

Наименьшему радиусу $R_{min}$ соответствует максимально возможная сила трения, поэтому мы можем записать равенство:
$m \frac{v^2}{R_{min}} = \mu mg$

Сократив массу $\text{m}$, получим:
$\frac{v^2}{R_{min}} = \mu g$

Выразим из этой формулы минимальный радиус:
$R_{min} = \frac{v^2}{\mu g}$

Подставим числовые значения:
$R_{min} = \frac{(\frac{50}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{0.5 \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = \frac{\frac{2500}{9} \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}}{5 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = \frac{2500}{9 \cdot 5} \text{м} = \frac{500}{9} \text{м} \approx 55.6 \text{ м}$

Ответ: наименьший радиус окружности, по которой может двигаться автомобиль, составляет примерно 55,6 м.