Номер 12, страница 118, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 11. Равномерное движение по окружности под действием нескольких сил - номер 12, страница 118.

Условие.

12. На рисунке 11.4 изображены силы, действующие на автомобиль массой $\text{m}$, движущийся со скоростью $\text{v}$ и совершающий поворот по радиусу $\text{r}$ на скользком участке шоссе, наклонённом под углом $\alpha$ к горизонту.

а) Все ли действующие на автомобиль силы изображены на рисунке 11.4?

б) Запишите уравнение второго закона Ньютона в проекциях на показанные на рисунке 11.4 оси координат в виде системы двух уравнений.

в) Выведите из этой системы уравнений соотношение между $v, r$ и $\alpha$, которое должно выполняться для того, чтобы автомобиль мог совершить поворот.

г) Чему равен угол наклона шоссе на повороте радиусом 100 м, если автомобиль, едущий со скоростью 72 км/ч, успешно совершает поворот на скользкой дороге?

Рис. 11.4

Итак, мы видим, что на наклонной скользкой дороге центростремительное ускорение на повороте автомобилю сообщает проекция силы нормальной реакции на горизонтальную ось. Если дорога не скользкая, то благодаря наклону дороги автомобиль может безопасно пройти поворот на большей скорости, чем на горизонтальной дороге.

Решение 2.

а) Да, на рисунке изображены все силы, которые необходимо учитывать в данной задаче. Поскольку шоссе скользкое, силой трения можно пренебречь. Сила тяги двигателя и сила сопротивления воздуха действуют вдоль направления движения (перпендикулярно плоскости рисунка), и в контексте рассмотрения поворота их можно не учитывать (предполагается, что они уравновешены и скорость постоянна). Таким образом, на автомобиль действуют две основные силы: сила тяжести $ \vec{mg} $, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $ \vec{N} $, направленная перпендикулярно поверхности дороги.

Ответ: Да, для данной идеализированной модели на рисунке изображены все существенные силы.

б) Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение: $ \sum \vec{F} = m\vec{a} $. При движении по окружности автомобиль обладает центростремительным ускорением $ a_ц = \frac{v^2}{r} $, которое направлено горизонтально к центру поворота (вдоль оси Ox).

Запишем уравнения в проекциях на оси координат:

На ось Ox (горизонтальная): Единственная сила, имеющая проекцию на эту ось, — это сила нормальной реакции $ \vec{N} $. Её проекция равна $ N_x = N \sin{\alpha} $. Ускорение $ a_x = a_ц = \frac{v^2}{r} $.

$ N \sin{\alpha} = m \frac{v^2}{r} $

На ось Oy (вертикальная): Проекция силы нормальной реакции $ N_y = N \cos{\alpha} $. Проекция силы тяжести $ mg_y = -mg $. Движения по вертикали нет, поэтому $ a_y = 0 $.

$ N \cos{\alpha} - mg = 0 \Rightarrow N \cos{\alpha} = mg $

Система уравнений будет выглядеть так:

$ \begin{cases} N \sin{\alpha} = m \frac{v^2}{r} \\ N \cos{\alpha} = mg \end{cases} $

Ответ: $ \begin{cases} N \sin{\alpha} = m \frac{v^2}{r} \\ N \cos{\alpha} = mg \end{cases} $

в) Для того чтобы вывести соотношение между $\text{v}$, $\text{r}$ и $\alpha$, исключим из системы уравнений силу нормальной реакции $\text{N}$. Для этого разделим первое уравнение на второе:

$ \frac{N \sin{\alpha}}{N \cos{\alpha}} = \frac{m \frac{v^2}{r}}{mg} $

После сокращения $\text{N}$ в левой части и $\text{m}$ в правой части, получаем:

$ \tan{\alpha} = \frac{v^2}{gr} $

Это соотношение показывает, при каком угле наклона дороги автомобиль, движущийся со скоростью $\text{v}$, сможет совершить поворот радиусом $\text{r}$ без участия силы трения.

Ответ: $ \tan{\alpha} = \frac{v^2}{gr} $

г)

Дано:

$ r = 100 \text{ м} $
$ v = 72 \text{ км/ч} $

Перевод в систему СИ:

$ v = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с} $

Найти:

$ \alpha $

Решение:

Используем формулу, выведенную в пункте в). Примем ускорение свободного падения $ g \approx 10 \text{ м/с}^2 $.

$ \tan{\alpha} = \frac{v^2}{gr} $

Подставим известные значения в формулу:

$ \tan{\alpha} = \frac{(20 \text{ м/с})^2}{10 \text{ м/с}^2 \cdot 100 \text{ м}} = \frac{400}{1000} = 0.4 $

Теперь найдем угол $ \alpha $, взяв арктангенс от полученного значения:

$ \alpha = \arctan(0.4) \approx 21.8^\circ $

Округляя, получаем $ \alpha \approx 22^\circ $.

Ответ: Угол наклона шоссе равен примерно $ 22^\circ $.