Номер 17, страница 120, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 11. Равномерное движение по окружности под действием нескольких сил - номер 17, страница 120.

Условие.

17. Автомобиль совершает поворот на горизонтальной дороге по дуге окружности радиусом 100 м. Какова максимально возможная скорость автомобиля, если коэффициент трения между шинами и дорогой равен 0,4?

Решение 2.

Дано:

Радиус дуги окружности, $R = 100$ м
Коэффициент трения, $\mu = 0,4$
Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с$^2$

Найти:

Максимально возможная скорость, $v_{max}$ — ?

Решение:

Когда автомобиль совершает поворот, он движется по дуге окружности. Для такого движения необходимо наличие центростремительной силы, которая направлена к центру окружности. В данном случае, на горизонтальной дороге, эту роль выполняет сила трения покоя между шинами автомобиля и поверхностью дороги.

Запишем второй закон Ньютона для автомобиля. В проекции на горизонтальную ось, направленную к центру поворота, он выглядит так:$F_{тр} = m \cdot a_ц$где $F_{тр}$ — сила трения, $\text{m}$ — масса автомобиля, $a_ц$ — центростремительное ускорение.

Центростремительное ускорение определяется по формуле:$a_ц = \frac{v^2}{R}$где $\text{v}$ — скорость автомобиля, а $\text{R}$ — радиус окружности.

Максимальная скорость, с которой автомобиль может пройти поворот, не соскользнув, соответствует максимальной силе трения покоя:$F_{тр, макс} = \mu N$где $\mu$ — коэффициент трения, а $\text{N}$ — сила нормальной реакции опоры.

Так как дорога горизонтальная, силы, действующие на автомобиль в вертикальном направлении (сила тяжести $mg$ и сила нормальной реакции опоры $\text{N}$), уравновешивают друг друга:$N = mg$

Следовательно, максимальная сила трения равна:$F_{тр, макс} = \mu mg$

При максимальной скорости $v_{max}$ центростремительная сила равна максимальной силе трения покоя:$\frac{m v_{max}^2}{R} = \mu mg$

Массу автомобиля $\text{m}$ можно сократить в обеих частях уравнения:$\frac{v_{max}^2}{R} = \mu g$

Отсюда выражаем максимальную скорость:$v_{max}^2 = \mu g R$$v_{max} = \sqrt{\mu g R}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:$v_{max} = \sqrt{0,4 \cdot 10 \, \text{м/с}^2 \cdot 100 \, \text{м}} = \sqrt{400 \, (\text{м/с})^2} = 20 \, \text{м/с}$

Ответ: максимальная возможная скорость автомобиля равна $20$ м/с.