Номер 24, страница 121, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 11. Равномерное движение по окружности под действием нескольких сил - номер 24, страница 121.

Условие.

24. Маленький шарик массой $m = 10 \text{ г}$ подвешен на лёгкой нити, направленной по касательной к гладкой полусфере, как показано на рисунке 11.9. Угол $\alpha = 30^\circ$, радиус полусферы $R = 0,1 \text{ м}$. Когда шарику сообщили горизонтальную скорость $v = 0,5 \text{ м/с}$, он стал равномерно двигаться по окружности в горизонтальной плоскости, не отрываясь от полусферы.

Рис. 11.9

а) Чему равна сила, с которой шарик давит на полусферу?

б) Какую минимальную скорость надо сообщить шарику, чтобы он перестал давить на полусферу?

Решение 2.

Дано:

$m = 10 \text{ г} = 0,01 \text{ кг}$

$α = 30°$

$R = 0,1 \text{ м}$

$v = 0,5 \text{ м/с}$

$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

а) $\text{P}$ - сила, с которой шарик давит на полусферу.

б) $v_{min}$ - минимальная скорость, чтобы шарик перестал давить на полусферу.

Решение:

На шарик действуют три силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, сила натяжения нити $\text{T}$, направленная вдоль нити, и сила нормальной реакции опоры $\text{N}$, направленная перпендикулярно поверхности полусферы (вдоль ее радиуса к центру).

Поскольку нить направлена по касательной к полусфере, она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, сила натяжения $\text{T}$ перпендикулярна силе нормальной реакции $\text{N}$.

Введем систему координат: ось OY направим вертикально вверх, а ось OX – горизонтально к центру окружности, по которой движется шарик.

Из геометрии задачи следует, что если нить составляет угол $α$ с вертикалью, то радиус полусферы в точке касания составляет угол $β = 90° - α$ с вертикалью. Тогда радиус окружности, по которой движется шарик, равен $r = R \sin(β) = R \sin(90° - α) = R \cos(α)$.

Сила нормальной реакции $\text{N}$ направлена вдоль радиуса полусферы. Угол, который она составляет с горизонталью, равен $α$. Сила $\text{N}$ направлена внутрь и вниз.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат. Шарик движется равномерно по окружности, поэтому его ускорение является центростремительным и направлено по оси OX: $a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{v^2}{R \cos(α)}$.

Проекция на ось OX (горизонтальная):

$T \sin(α) + N \cos(α) = m a_c = \frac{m v^2}{R \cos(α)}$ (1)

Проекция на ось OY (вертикальная):

$T \cos(α) - N \sin(α) - mg = 0$ (2)

Выразим $\text{T}$ из уравнения (2) и подставим в уравнение (1).

Из (2): $T = \frac{mg + N \sin(α)}{\cos(α)}$

Подставляем в (1):

$\frac{mg + N \sin(α)}{\cos(α)} \sin(α) + N \cos(α) = \frac{m v^2}{R \cos(α)}$

Умножим обе части уравнения на $\cos(α)$:

$(mg + N \sin(α)) \sin(α) + N \cos^2(α) = \frac{m v^2}{R}$

$mg \sin(α) + N \sin^2(α) + N \cos^2(α) = \frac{m v^2}{R}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(α) + \cos^2(α) = 1$, получаем:

$mg \sin(α) + N = \frac{m v^2}{R}$

Отсюда выражаем силу нормальной реакции $\text{N}$:

$N = \frac{m v^2}{R} - mg \sin(α) = m \left( \frac{v^2}{R} - g \sin(α) \right)$

Сила $\text{P}$, с которой шарик давит на полусферу, по третьему закону Ньютона равна по модулю силе нормальной реакции $\text{N}$.

а) Чему равна сила, с которой шарик давит на полусферу?

Подставим числовые значения из условия задачи:

$N = 0,01 \text{ кг} \cdot \left( \frac{(0,5 \text{ м/с})^2}{0,1 \text{ м}} - 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot \sin(30°) \right)$

$N = 0,01 \cdot \left( \frac{0,25}{0,1} - 9,8 \cdot 0,5 \right) = 0,01 \cdot (2,5 - 4,9) = 0,01 \cdot (-2,4) = -0,024 \text{ Н}$

Полученное значение силы нормальной реакции отрицательно. Физически это невозможно, так как поверхность может только толкать тело (сила $N \ge 0$), но не притягивать его. Отрицательный результат означает, что при заданной скорости $v = 0,5 \text{ м/с}$ шарик не может двигаться по указанной траектории, не отрываясь от поверхности. Условие задачи "не отрываясь от полусферы" противоречит заданным числовым данным. В такой ситуации сила давления шарика на опору равна нулю.

Ответ: $P = 0 \text{ Н}$.

б) Какую минимальную скорость надо сообщить шарику, чтобы он перестал давить на полусферу?

Шарик перестает давить на полусферу, когда сила нормальной реакции опоры становится равной нулю, то есть $N=0$.

Используем выведенную ранее формулу для $\text{N}$ и приравняем ее к нулю, чтобы найти минимальную скорость $v_{min}$:

$m \left( \frac{v_{min}^2}{R} - g \sin(α) \right) = 0$

$\frac{v_{min}^2}{R} = g \sin(α)$

$v_{min} = \sqrt{R g \sin(α)}$

Подставим числовые значения:

$v_{min} = \sqrt{0,1 \text{ м} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot \sin(30°)} = \sqrt{0,1 \cdot 9,8 \cdot 0,5} = \sqrt{0,49} = 0,7 \text{ м/с}$

Это подтверждает вывод из пункта а): так как заданная скорость $v = 0,5 \text{ м/с}$ меньше, чем минимально необходимая скорость для движения по данной траектории ($v_{min} = 0,7 \text{ м/с}$), такое движение физически невозможно без отрыва (скорее, соскальзывания вниз).

Ответ: $v_{min} = 0,7 \text{ м/с}$.