Номер 19, страница 120, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 11. Равномерное движение по окружности под действием нескольких сил - номер 19, страница 120.

Условие.

19. Горизонтально расположенный диск вращается с частотой $0,5 \text{ с}^{-1}$ вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. На диске лежит монетка, которая покоится относительно диска. На каком расстоянии от оси вращения она может находиться, если коэффициент трения между монеткой и диском равен 0,3?

Решение 2.

Дано:

Частота вращения диска: $f = 0,5 \text{ с}^{-1}$

Коэффициент трения между монеткой и диском: $\mu = 0,3$

Ускорение свободного падения: $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Расстояние от оси вращения $\text{R}$, на котором может находиться монетка.

Решение:

На монетку, лежащую на вращающемся диске, действуют три силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная вертикально вверх, и сила трения покоя $\vec{F}_{тр}$, направленная горизонтально к центру вращения.

Монетка движется по окружности вместе с диском, следовательно, у нее есть центростремительное ускорение $\vec{a}_c$, направленное к центру вращения. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение: $m\vec{a}_c = m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр}$.

Запишем это уравнение в проекциях на вертикальную (Y) и горизонтальную (X) оси. Ось Y направим вверх, а ось X — к центру окружности.

Проекция на ось Y: $N - mg = 0$, так как в вертикальном направлении движения нет. Отсюда следует, что сила нормальной реакции опоры равна силе тяжести: $N = mg$.

Проекция на ось X: $F_{тр} = ma_c$. Сила трения покоя сообщает монетке необходимое центростремительное ускорение.

Центростремительное ускорение связано с угловой скоростью $\omega$ и радиусом вращения $\text{R}$ формулой $a_c = \omega^2 R$. Угловая скорость, в свою очередь, выражается через частоту вращения $\text{f}$ как $\omega = 2\pi f$.

Подставим эти выражения в формулу для ускорения: $a_c = (2\pi f)^2 R = 4\pi^2 f^2 R$.

Тогда сила трения равна: $F_{тр} = m \cdot 4\pi^2 f^2 R$.

Монетка будет находиться в покое относительно диска до тех пор, пока необходимая для этого сила трения не превысит максимальную силу трения покоя $F_{тр, макс}$. Максимальная сила трения покоя вычисляется по формуле: $F_{тр, макс} = \mu N = \mu mg$.

Таким образом, условие, при котором монетка не соскальзывает с диска, имеет вид:

$F_{тр} \le F_{тр, макс}$

$m \cdot 4\pi^2 f^2 R \le \mu mg$

Сократив массу $\text{m}$ в обеих частях неравенства, получим:

$4\pi^2 f^2 R \le \mu g$

Выразим из этого неравенства расстояние $\text{R}$:

$R \le \frac{\mu g}{4\pi^2 f^2}$

Это неравенство определяет все возможные расстояния от центра, на которых может находиться монетка. Найдем максимальное возможное расстояние $R_{max}$, подставив числовые значения:

$R \le \frac{0,3 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}{4 \cdot (3,14)^2 \cdot (0,5 \text{ с}^{-1})^2} \approx \frac{2,94 \text{ м/с}^2}{4 \cdot 9,86 \cdot 0,25 \text{ с}^{-2}} \approx \frac{2,94 \text{ м/с}^2}{9,86 \text{ с}^{-2}} \approx 0,298 \text{ м}$

Округляя результат до одного значащего знака (как в исходных данных), получаем $0,3$ м.

Следовательно, монетка может находиться на любом расстоянии от оси вращения, не превышающем это значение.

Ответ: Монетка может находиться на расстоянии $R \le 0,3 \text{ м}$ от оси вращения.