Номер 16, страница 120, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 11. Равномерное движение по окружности под действием нескольких сил - номер 16, страница 120.

Условие.

16. Небольшая шайба движется по горизонтальной окружности радиусом $r = 30$ см по гладкой внутренней поверхности конуса (рис. 11.8). Угол между образующей конуса и вертикалью $\alpha = 60^{\circ}$. Чему равен период обращения шайбы $\text{T}$?

Рис. 11.8

Решение 2.

Дано:
Радиус окружности, $r = 30$ см
Угол между образующей конуса и вертикалью, $\alpha = 60^\circ$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с$^2$

$r = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$

Найти:
Период обращения шайбы, $\text{T}$

Решение:

На шайбу, движущуюся по горизонтальной окружности, действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно внутренней поверхности конуса.

Введем систему координат с началом в центре шайбы: ось OY направим вертикально вверх, а ось OX – горизонтально к центру окружности, по которой движется шайба.

Поскольку поверхность конуса гладкая, сила трения отсутствует. Сила нормальной реакции $\vec{N}$ перпендикулярна образующей конуса. Угол между образующей и вертикалью равен $\alpha$. Из геометрических соображений, угол между вектором силы $\vec{N}$ и горизонтальной осью OX также равен $\alpha$, а угол между $\vec{N}$ и вертикальной осью OY равен $90^\circ - \alpha$. Разложим силу $\vec{N}$ на компоненты:

Вертикальная составляющая: $N_y = N \sin\alpha$
Горизонтальная составляющая: $N_x = N \cos\alpha$

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат. Шайба движется равномерно по окружности, поэтому ее ускорение является центростремительным, направлено по оси OX и равно $a_c = \frac{v^2}{r}$, где $\text{v}$ – скорость шайбы. Вдоль вертикальной оси OY движение отсутствует, следовательно, ускорение в этой проекции равно нулю.

Проекция на ось OY:
$\sum F_y = N_y - mg = 0$
$N \sin\alpha = mg \quad (1)$

Проекция на ось OX:
$\sum F_x = N_x = m a_c$
$N \cos\alpha = m \frac{v^2}{r} \quad (2)$

Для нахождения скорости $\text{v}$ разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{N \cos\alpha}{N \sin\alpha} = \frac{m v^2 / r}{mg}$

$\cot\alpha = \frac{v^2}{gr}$

Отсюда выразим квадрат скорости шайбы:

$v^2 = gr \cot\alpha$

Период обращения $\text{T}$ связан со скоростью $\text{v}$ и радиусом $\text{r}$ соотношением $v = \frac{2\pi r}{T}$. Возведя это выражение в квадрат, получим $v^2 = \frac{4\pi^2 r^2}{T^2}$.

Приравняем два полученных выражения для $v^2$:

$\frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = gr \cot\alpha$

Выразим из этого уравнения период $\text{T}$:

$T^2 = \frac{4\pi^2 r^2}{gr \cot\alpha} = \frac{4\pi^2 r}{g \cot\alpha}$

$T = \sqrt{\frac{4\pi^2 r}{g \cot\alpha}} = 2\pi \sqrt{\frac{r}{g \cot\alpha}}$

Подставим числовые значения:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.3}{9.8 \cdot \cot(60^\circ)}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.3}{9.8 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}} \approx 2 \cdot 3.1416 \cdot \sqrt{\frac{0.3 \cdot 1.732}{9.8}} \approx 6.2832 \cdot \sqrt{\frac{0.5196}{9.8}} \approx 6.2832 \cdot \sqrt{0.05302} \approx 6.2832 \cdot 0.23026 \approx 1.447 \text{ с}$

Округлим результат до сотых.

Ответ: $T \approx 1.45$ с.