Номер 15, страница 119, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 11. Равномерное движение по окружности под действием нескольких сил - номер 15, страница 119.

Условие.

15. Небольшая шайба массой $m = 50 \text{ г}$ равномерно движется со скоростью $2 \text{ м/с}$ по горизонтальной окружности радиусом $r = 20 \text{ см}$ внутри гладкой полусферы (рис. 11.7).

а) Изобразите на чертеже все силы, действующие на шайбу. Какая из этих сил играет роль силы натяжения нити для конического маятника?

б) Чему равно ускорение шайбы?

в) Чему равен угол между действующей на шайбу силой нормальной реакции и вертикалью?

г) Чему равна действующая на шайбу сила нормальной реакции?

д) Чему равен радиус полусферы?

е) Чему равна частота обращения шайбы?

Решение 2.

Дано:

$m = 50$ г = $0.05$ кг

$v = 2$ м/с

$r = 20$ см = $0.2$ м

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с$^2$.

Найти:

а) Силы, действующие на шайбу; аналог силы натяжения нити.

б) $\text{a}$ - ?

в) $\alpha$ - ?

г) $\text{N}$ - ?

д) $\text{R}$ - ?

е) $\text{f}$ - ?

Решение:

а) Изобразите на чертеже все силы, действующие на шайбу. Какая из этих сил играет роль силы натяжения нити для конического маятника?

На шайбу действуют две силы:

1. Сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.

2. Сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно поверхности полусферы в точке контакта. Так как поверхность сферическая, эта сила направлена к центру полусферы.

В коническом маятнике сила натяжения нити удерживает тело на круговой траектории и уравновешивает силу тяжести. В данной задаче эту роль выполняет сила нормальной реакции $\vec{N}$. Ее горизонтальная составляющая сообщает шайбе центростремительное ускорение, а вертикальная составляющая уравновешивает силу тяжести.

Ответ: На шайбу действуют сила тяжести $m\vec{g}$ и сила нормальной реакции $\vec{N}$. Роль силы натяжения нити играет сила нормальной реакции $\vec{N}$.

б) Чему равно ускорение шайбы?

Шайба движется равномерно по окружности, следовательно, она обладает центростремительным ускорением, направленным к центру окружности. Величина этого ускорения вычисляется по формуле:

$a = a_c = \frac{v^2}{r}$

Подставим числовые значения:

$a = \frac{(2 \text{ м/с})^2}{0.2 \text{ м}} = \frac{4}{0.2} \text{ м/с}^2 = 20 \text{ м/с}^2$

Ответ: $a = 20$ м/с$^2$.

в) Чему равен угол между действующей на шайбу силой нормальной реакции и вертикалью?

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат. Направим ось OY вертикально вверх, а ось OX – горизонтально к центру окружности. Пусть $\alpha$ – искомый угол между вектором силы нормальной реакции $\vec{N}$ и вертикалью (осью OY).

Проекция на ось OX: $N_x = ma_c$

$N \sin{\alpha} = m \frac{v^2}{r}$ (1)

Проекция на ось OY: $N_y - mg = 0$

$N \cos{\alpha} = mg$ (2)

Разделим уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{N \sin{\alpha}}{N \cos{\alpha}} = \frac{m v^2 / r}{mg}$

$\tan{\alpha} = \frac{v^2}{gr}$

Подставим значения:

$\tan{\alpha} = \frac{(2 \text{ м/с})^2}{10 \text{ м/с}^2 \cdot 0.2 \text{ м}} = \frac{4}{2} = 2$

Тогда угол $\alpha$ равен:

$\alpha = \arctan(2) \approx 63.4^\circ$

Ответ: $\alpha = \arctan(2) \approx 63.4^\circ$.

г) Чему равна действующая на шайбу сила нормальной реакции?

Выразим силу нормальной реакции $\text{N}$ из уравнения (2):

$N = \frac{mg}{\cos{\alpha}}$

Найдем $\cos{\alpha}$ из известного значения $\tan{\alpha} = 2$. Из тождества $1 + \tan^2{\alpha} = \frac{1}{\cos^2{\alpha}}$ следует:

$\cos{\alpha} = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2{\alpha}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 2^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Теперь вычислим $\text{N}$:

$N = \frac{0.05 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{1/\sqrt{5}} = 0.5\sqrt{5} \text{ Н} \approx 1.12 \text{ Н}$

Ответ: $N = 0.5\sqrt{5} \text{ Н} \approx 1.12 \text{ Н}$.

д) Чему равен радиус полусферы?

Рассмотрим геометрическое соотношение между радиусом полусферы $\text{R}$, радиусом окружности движения шайбы $\text{r}$ и углом $\alpha$. Вектор силы нормальной реакции $\vec{N}$ направлен вдоль радиуса полусферы $\text{R}$. Угол $\alpha$ — это угол между этим радиусом и вертикалью. Радиус окружности $\text{r}$ является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — это радиус полусферы $\text{R}$.

Из геометрии следует: $r = R \sin{\alpha}$

Отсюда радиус полусферы:

$R = \frac{r}{\sin{\alpha}}$

Найдем $\sin{\alpha}$: $\sin{\alpha} = \sqrt{1 - \cos^2{\alpha}} = \sqrt{1 - (\frac{1}{\sqrt{5}})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Подставим значения:

$R = \frac{0.2 \text{ м}}{2/\sqrt{5}} = 0.1\sqrt{5} \text{ м} \approx 0.224 \text{ м}$

Ответ: $R = 0.1\sqrt{5} \text{ м} \approx 22.4 \text{ см}$.

е) Чему равна частота обращения шайбы?

Линейная скорость $\text{v}$ связана с частотой обращения $\text{f}$ и радиусом $\text{r}$ формулой:

$v = 2\pi r f$

Выразим частоту:

$f = \frac{v}{2\pi r}$

Подставим числовые значения:

$f = \frac{2 \text{ м/с}}{2\pi \cdot 0.2 \text{ м}} = \frac{2}{0.4\pi} = \frac{5}{\pi} \text{ Гц} \approx 1.59 \text{ Гц}$

Ответ: $f = \frac{5}{\pi} \text{ Гц} \approx 1.59 \text{ Гц}$.