Номер 18, страница 120, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 11. Равномерное движение по окружности под действием нескольких сил - номер 18, страница 120.

Условие.

18. Шарик, подвешенный на нити длиной 50 см, равномерно движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости. Нить составляет угол 30° с вертикалью. С каким ускорением движется шарик? Есть ли в условии лишние данные?

Решение 2.

Дано:

$l = 50$ см

$\alpha = 30°$

В системе СИ:

$l = 0.5$ м

Найти:

$\text{a}$ - ?

Есть ли в условии лишние данные?

Решение:

Шарик, движущийся по окружности в горизонтальной плоскости, представляет собой конический маятник. На него действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити. Равнодействующая этих двух сил сообщает шарику центростремительное ускорение $\vec{a}$, которое направлено горизонтально к центру окружности.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальную (OX) и вертикальную (OY) оси. Угол $\alpha$ — это угол между нитью и вертикалью.

Проекция на ось OY (вертикальную):

Сумма вертикальных сил равна нулю, так как шарик не движется по вертикали.

$T_y - mg = 0 \implies T \cos \alpha = mg$ (1)

Проекция на ось OX (горизонтальную):

Равнодействующая сила равна произведению массы на центростремительное ускорение.

$T_x = ma \implies T \sin \alpha = ma$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений. Чтобы найти ускорение $\text{a}$, разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{T \sin \alpha}{T \cos \alpha} = \frac{ma}{mg}$

Сокращаем $\text{T}$ и $\text{m}$:

$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{a}{g}$

Поскольку $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, получаем:

$\tan \alpha = \frac{a}{g}$

Отсюда выражаем ускорение $\text{a}$:

$a = g \tan \alpha$

С каким ускорением движется шарик?

Подставим в формулу известные значения. Примем ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$.

$a = 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot \tan 30° = 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 9.8 \cdot 0.577 \approx 5.655 \, \text{м/с}^2$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $a \approx 5.7 \, \text{м/с}^2$.

Ответ: Ускорение шарика равно примерно $5.7 \, \text{м/с}^2$.

Есть ли в условии лишние данные?

Как видно из выведенной формулы $a = g \tan \alpha$, для вычисления ускорения шарика требуется знать только угол отклонения нити от вертикали $\alpha$ и ускорение свободного падения $\text{g}$. Длина нити $l = 50$ см в расчетах не использовалась. Следовательно, это лишние данные для ответа на поставленный вопрос.

Ответ: Да, есть. Лишним данным является длина нити.