Номер 23, страница 120, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 11. Равномерное движение по окружности под действием нескольких сил - номер 23, страница 120.

Условие.

23. Небольшая шайба равномерно движется по окружности внутри гладкой полусферы радиусом 30 см. Чему равна скорость шайбы, если она всё время остаётся на высоте 15 см от нижней точки полусферы? Чему равен период обращения шайбы?

Решение 2.

Дано:

Радиус полусферы $R = 30$ см

Высота $h = 15$ см

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²

Перевод в СИ:

$R = 0.3$ м

$h = 0.15$ м

Найти:

$\text{v}$ — ?

$\text{T}$ — ?

Решение:

На шайбу, движущуюся по окружности, действуют две силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\text{N}$, направленная перпендикулярно поверхности полусферы. Поскольку поверхность гладкая, сила трения отсутствует. Равнодействующая этих двух сил сообщает шайбе центростремительное ускорение $a_c$, которое направлено горизонтально к центру окружности, по которой движется шайба. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную (Y) и горизонтальную (X) оси. Ось X направим к центру окружности, а ось Y — вертикально вверх.

Для нахождения проекций силы реакции опоры $\text{N}$ определим угол $\alpha$ между вектором $\text{N}$ и вертикалью. Из геометрических соображений (рассмотрев треугольник, образованный центром полусферы, центром окружности движения и положением шайбы), этот угол также является углом между радиусом полусферы, проведенным к шайбе, и вертикалью. Косинус этого угла равен:

$ \cos{\alpha} = \frac{R-h}{R} $

Подставим числовые значения:

$ \cos{\alpha} = \frac{0.3 - 0.15}{0.3} = \frac{0.15}{0.3} = \frac{1}{2} $

Отсюда следует, что угол $\alpha = 60^\circ$.

Радиус $\text{r}$ окружности, по которой движется шайба, можно найти из того же треугольника:

$ r = R \sin{\alpha} = 0.3 \cdot \sin{60^\circ} = 0.3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.15\sqrt{3} $ м.

Теперь запишем уравнения второго закона Ньютона в проекциях:

На ось Y (вертикальную): $ N \cos{\alpha} - mg = 0 $, откуда $ N = \frac{mg}{\cos{\alpha}} $.

На ось X (горизонтальную): $ N \sin{\alpha} = ma_c $. Так как $ a_c = \frac{v^2}{r} $, то $ N \sin{\alpha} = m \frac{v^2}{r} $.

Подставим выражение для $\text{N}$ из первого уравнения во второе:

$ \left(\frac{mg}{\cos{\alpha}}\right) \sin{\alpha} = m \frac{v^2}{r} $

Сократив массу $\text{m}$, получим: $ mg \tan{\alpha} = m \frac{v^2}{r} \implies g \tan{\alpha} = \frac{v^2}{r} $.

Отсюда выражаем искомую скорость $\text{v}$:

$ v = \sqrt{gr \tan{\alpha}} $

Чему равна скорость шайбы, если она всё время остаётся на высоте 15 см от нижней точки полусферы?

Подставив известные значения, найдем скорость:

$ v = \sqrt{9.8 \cdot 0.15\sqrt{3} \cdot \tan{60^\circ}} = \sqrt{9.8 \cdot 0.15\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \sqrt{9.8 \cdot 0.15 \cdot 3} = \sqrt{4.41} = 2.1 $ м/с.

Ответ: 2.1 м/с.

Чему равен период обращения шайбы?

Период обращения $\text{T}$ связан со скоростью $\text{v}$ и радиусом окружности $\text{r}$ формулой:

$ T = \frac{2\pi r}{v} $

Подставим найденные значения $\text{r}$ и $\text{v}$:

$ T = \frac{2\pi \cdot 0.15\sqrt{3}}{2.1} = \frac{0.3\pi\sqrt{3}}{2.1} = \frac{3\pi\sqrt{3}}{21} = \frac{\pi\sqrt{3}}{7} $ с.

Приближенное значение периода: $ T \approx \frac{3.14 \cdot 1.732}{7} \approx 0.78 $ с.

Ответ: $ \frac{\pi\sqrt{3}}{7} $ с (приблизительно 0.78 с).