Номер 27, страница 122, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 11. Равномерное движение по окружности под действием нескольких сил - номер 27, страница 122.

Условие.

27. Шарик массой $200 \text{ г}$, подвешенный к пружине жёсткостью $80 \text{ Н/м}$, равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости с угловой скоростью $10 \text{ рад/с}$. При этом пружина составляет угол $60^\circ$ с вертикалью. Найдите удлинение пружины и длину недеформированной пружины.

Решение 2.

Дано:

$m = 200 \text{ г}$

$k = 80 \text{ Н/м}$

$\omega = 10 \text{ рад/с}$

$\alpha = 60^\circ$

$m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$

Найти:

$\Delta l - ?$

$l_0 - ?$

Решение:

На шарик, движущийся по окружности, действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила упругости пружины $\vec{F}_{упр}$, направленная вдоль пружины к точке подвеса. Равнодействующая этих сил сообщает шарику центростремительное ускорение $\vec{a}_c$, направленное к центру окружности.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

$m\vec{g} + \vec{F}_{упр} = m\vec{a}_c$

Введём систему координат: ось OY направим вертикально вверх, а ось OX – горизонтально к центру окружности. Спроецируем уравнение на эти оси. Угол $\alpha$ пружина составляет с вертикалью.

Проекция на ось OY (вертикальное равновесие):

$F_{упр} \cos \alpha - mg = 0$

Отсюда можем выразить силу упругости:

$F_{упр} = \frac{mg}{\cos \alpha}$

Согласно закону Гука, сила упругости равна $F_{упр} = k \Delta l$, где $\Delta l$ – удлинение пружины.

Приравняем два выражения для силы упругости:

$k \Delta l = \frac{mg}{\cos \alpha}$

Отсюда находим удлинение пружины $\Delta l$ (примем $g = 10 \text{ м/с}^2$):

$\Delta l = \frac{mg}{k \cos \alpha} = \frac{0.2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{80 \text{ Н/м} \cdot \cos 60^\circ} = \frac{2 \text{ Н}}{80 \text{ Н/м} \cdot 0.5} = \frac{2}{40} \text{ м} = 0.05 \text{ м}$

Проекция на ось OX (движение по окружности):

$F_{упр} \sin \alpha = ma_c$

Центростремительное ускорение $a_c = \omega^2 R$, где $\text{R}$ – радиус окружности. Радиус можно выразить через длину растянутой пружины $\text{l}$ и угол $\alpha$: $R = l \sin \alpha$.

Подставим выражения для $a_c$ и $\text{R}$ в уравнение для оси OX:

$F_{упр} \sin \alpha = m \omega^2 (l \sin \alpha)$

Так как $\sin \alpha \neq 0$, сокращаем и получаем:

$F_{упр} = m \omega^2 l$

Отсюда можно найти длину растянутой пружины $\text{l}$. Силу упругости мы уже можем рассчитать: $F_{упр} = k \Delta l = 80 \text{ Н/м} \cdot 0.05 \text{ м} = 4 \text{ Н}$.

$l = \frac{F_{упр}}{m \omega^2} = \frac{4 \text{ Н}}{0.2 \text{ кг} \cdot (10 \text{ рад/с})^2} = \frac{4}{0.2 \cdot 100} = \frac{4}{20} \text{ м} = 0.2 \text{ м}$

Длина растянутой пружины $\text{l}$ связана с её начальной (недеформированной) длиной $l_0$ и удлинением $\Delta l$ соотношением $l = l_0 + \Delta l$.

Найдём длину недеформированной пружины:

$l_0 = l - \Delta l = 0.2 \text{ м} - 0.05 \text{ м} = 0.15 \text{ м}$

Ответ: удлинение пружины $\Delta l = 0.05 \text{ м}$ (или 5 см), длина недеформированной пружины $l_0 = 0.15 \text{ м}$ (или 15 см).