Номер 5, страница 124, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 12. Движение системы тел - номер 5, страница 124.

Условие.

5. Два груза массами $\text{m}$ и $\text{M}$ подвешены на концах лёгкой нерастяжимой нити, переброшенной через блок (рис. 12.3), причём $M > m$. Трением в блоке и его массой можно пренебречь.

a) Перенесите рисунок в тетрадь и изобразите на нём силы, действующие на каждый груз. Назовите эти силы.

б) Как направлены ускорения грузов? Изобразите их на чертеже.

в) Равны ли по модулю ускорения грузов? Равны ли по модулю силы натяжения нити, действующие на грузы? Обоснуйте свои ответы.

г) Запишите второй закон Ньютона для грузов в проекциях на ось $\text{x}$, направленную вертикально вниз (обозначьте $\text{a}$ модуль ускорения грузов, $\text{T}$ — модуль силы натяжения нити).

д) Используя полученные уравнения, выразите модуль ускорения грузов и модуль силы натяжения нити через $\text{M}$ и $\text{m}$.

е) Одинаков ли вес грузов? Обоснуйте свой ответ.

Решение 2.

а) Перенесите рисунок в тетрадь и изобразите на нём силы, действующие на каждый груз. Назовите эти силы.

На каждый из грузов действуют по две силы:

1. Сила тяжести, направленная вертикально вниз. Для груза массой $\text{m}$ она равна $F_{т1} = mg$, а для груза массой $\text{M}$ она равна $F_{т2} = Mg$.
2. Сила натяжения нити, направленная вертикально вверх. Так как нить невесома и блок идеальный, эта сила одинакова по модулю для обоих грузов и обозначается как $\text{T}$.

На рисунке для груза $\text{m}$ следует изобразить вектор $mg$ направленный вниз, и вектор $\text{T}$ направленный вверх. Для груза $\text{M}$ следует изобразить вектор $Mg$ направленный вниз, и вектор $\text{T}$ направленный вверх. Вектор $Mg$ должен быть длиннее вектора $mg$, так как $M > m$.

Ответ: На каждый груз действуют сила тяжести (вниз) и сила натяжения нити (вверх).

б) Как направлены ускорения грузов? Изобразите их на чертеже.

Поскольку по условию задачи масса $\text{M}$ больше массы $\text{m}$ ($M > m$), то система будет двигаться так, что более тяжелый груз $\text{M}$ будет опускаться, а более легкий груз $\text{m}$ — подниматься. Следовательно, вектор ускорения $\text{a}$ для груза $\text{M}$ направлен вертикально вниз, а для груза $\text{m}$ — вертикально вверх.

Ответ: Ускорение груза массой $\text{M}$ направлено вертикально вниз, а ускорение груза массой $\text{m}$ — вертикально вверх.

в) Равны ли по модулю ускорения грузов? Равны ли по модулю силы натяжения нити, действующие на грузы? Обоснуйте свои ответы.

Да, модули ускорения грузов равны. Это связано с тем, что грузы соединены нерастяжимой нитью. Нерастяжимость нити означает, что за любой промежуток времени оба груза проходят одинаковый путь. Следовательно, их скорости и ускорения в любой момент времени равны по модулю.

Да, модули сил натяжения нити, действующие на грузы, также равны. Это следует из условий, что нить невесома (ее массой можно пренебречь) и трение в блоке отсутствует. В такой идеализированной системе сила натяжения передается по всей длине нити без изменений.

Ответ: Модули ускорений грузов равны из-за нерастяжимости нити. Модули сил натяжения нити равны, так как нить невесома и блок идеален.

г) Запишите второй закон Ньютона для грузов в проекциях на ось x, направленную вертикально вниз (обозначьте a модуль ускорения грузов, T — модуль силы натяжения нити).

Выберем ось $\text{x}$, направленную вертикально вниз. Запишем второй закон Ньютона ($F_{равн} = ma$) для каждого груза в проекции на эту ось.

Для груза массой $\text{M}$:
Сила тяжести $Mg$ направлена вниз (проекция положительна: $+Mg$). Сила натяжения $\text{T}$ направлена вверх (проекция отрицательна: $-T$). Ускорение $\text{a}$ направлено вниз (проекция положительна: $+a$).
Уравнение: $Mg - T = Ma$.

Для груза массой $\text{m}$:
Сила тяжести $mg$ направлена вниз (проекция положительна: $+mg$). Сила натяжения $\text{T}$ направлена вверх (проекция отрицательна: $-T$). Ускорение $\text{a}$ направлено вверх (проекция отрицательна: $-a$).
Уравнение: $mg - T = m(-a)$, или $mg - T = -ma$.

Ответ: Система уравнений, описывающая движение грузов, имеет вид:
$Mg - T = Ma$
$mg - T = -ma$

д) Используя полученные уравнения, выразите модуль ускорения грузов и модуль силы натяжения нити через M и m.

Дано:
Масса первого груза: $\text{m}$
Масса второго груза: $\text{M}$
$M > m$

Найти:
$a - ?$
$T - ?$

Решение:
Имеем систему из двух уравнений, полученных в пункте (г):
$\begin{cases} Mg - T = Ma \\ mg - T = -ma\end{cases}$

Выразим силу натяжения $\text{T}$ из второго уравнения:
$T = mg + ma$

Подставим это выражение для $\text{T}$ в первое уравнение:
$Mg - (mg + ma) = Ma$
$Mg - mg - ma = Ma$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выразить ускорение $\text{a}$:
$Mg - mg = Ma + ma$
$g(M - m) = a(M + m)$

Отсюда находим модуль ускорения:
$a = g \frac{M - m}{M + m}$

Теперь найдем модуль силы натяжения нити $\text{T}$, подставив полученное выражение для $\text{a}$ в формулу $T = mg + ma$:
$T = m(g + a) = m \left( g + g \frac{M - m}{M + m} \right) = mg \left( 1 + \frac{M - m}{M + m} \right)$
$T = mg \left( \frac{M + m + M - m}{M + m} \right) = mg \left( \frac{2M}{M + m} \right)$
$T = \frac{2mMg}{M + m}$

Ответ:
Модуль ускорения грузов: $a = g \frac{M - m}{M + m}$
Модуль силы натяжения нити: $T = \frac{2mMg}{M + m}$

е) Одинаков ли вес грузов? Обоснуйте свой ответ.

Вес тела — это сила, с которой тело действует на опору или подвес. В данном случае весом каждого груза является сила, с которой он действует на нить. По третьему закону Ньютона, эта сила ($\text{P}$) равна по модулю силе реакции подвеса, то есть силе натяжения нити ($\text{T}$), действующей на груз.

Для груза $\text{m}$: $P_m = T$
Для груза $\text{M}$: $P_M = T$

Поскольку, как было обосновано в пункте (в), сила натяжения нити $\text{T}$ одинакова по всей длине, то и веса обоих грузов во время движения одинаковы: $P_m = P_M = T = \frac{2mMg}{M + m}$.

Стоит отметить, что вес грузов не равен их силам тяжести. Вес легкого груза $\text{m}$, движущегося с ускорением вверх, больше его силы тяжести ($P_m = m(g+a) > mg$). Вес тяжелого груза $\text{M}$, движущегося с ускорением вниз, меньше его силы тяжести ($P_M = M(g-a) < Mg$).

Ответ: Да, веса грузов во время движения одинаковы, так как вес каждого из них равен по модулю силе натяжения нити, а сила натяжения одинакова для обоих грузов.