Номер 9, страница 126, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 12. Движение системы тел - номер 9, страница 126.

Условие.

9. Брусок массой $m_1 = 400 \text{ г}$ находится на гладкой наклоннойплоскости с углом наклона $\alpha = 30^\circ$ (рис. 12.6). Брусок связанлёгкой нерастяжимой нитью с цилиндром массой $m_2 = 100 \text{ г}$.

Рис. 12.6

a) Запишите соотношение между проекциями ускорений бруска

и цилиндра на соответствующие оси координат.

б) Запишите второй закон Ньютона для бруска и цилиндра в

проекциях на оси координат, показанные на рисунке.

в) Выразите проекцию ускорения бруска на ось $x_1$ через массы

бруска и цилиндра и угол наклона плоскости.

г) Как направлены ускорения бруска и цилиндра при заданных

значениях массы тел и угла наклона плоскости?

д) Чему равны ускорения бруска и цилиндра?

Решение 2.

а) Запишите соотношение между проекциями ускорений бруска и цилиндра на соответствующие оси координат.

Поскольку нить является нерастяжимой, то модули ускорений бруска и цилиндра равны: $a_1 = a_2 = a$. Ось $x_1$ для бруска направлена вверх по наклонной плоскости, а ось $y_2$ для цилиндра направлена вертикально вниз. Так как тела связаны одной нитью, движение бруска вверх по плоскости (положительное направление оси $x_1$) будет сопровождаться движением цилиндра вниз (положительное направление оси $y_2$). Следовательно, проекции их ускорений на указанные оси будут равны.

Ответ: $a_{1x} = a_{2y}$.

б) Запишите второй закон Ньютона для бруска и цилиндра в проекциях на оси координат, показанные на рисунке.

На брусок массой $m_1$ действуют: сила тяжести $m_1\vec{g}$, сила натяжения нити $\vec{T}_1$ и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$. На цилиндр массой $m_2$ действуют: сила тяжести $m_2\vec{g}$ и сила натяжения нити $\vec{T}_2$. Модули сил натяжения равны $T_1 = T_2 = T$.

Второй закон Ньютона для бруска $m_1$ в векторной форме: $m_1\vec{a}_1 = m_1\vec{g} + \vec{T}_1 + \vec{N}$.

Проекции на оси $x_1$ и $y_1$:

На ось $x_1$: $m_1a_{1x} = T_1 - m_1g \sin\alpha$

На ось $y_1$: $0 = N - m_1g \cos\alpha$

Второй закон Ньютона для цилиндра $m_2$ в векторной форме: $m_2\vec{a}_2 = m_2\vec{g} + \vec{T}_2$.

Проекция на ось $y_2$:

$m_2a_{2y} = m_2g - T_2$

Ответ: Для бруска: на ось $x_1$: $m_1a_{1x} = T - m_1g \sin\alpha$; на ось $y_1$: $0 = N - m_1g \cos\alpha$. Для цилиндра: на ось $y_2$: $m_2a_{2y} = m_2g - T$.

в) Выразите проекцию ускорения бруска на ось $x_1$ через массы бруска и цилиндра и угол наклона плоскости.

Используем систему уравнений из пункта б) и соотношение из пункта а). Обозначим $a_{1x} = a_{2y} = a_x$.

$\begin{cases} m_1a_x = T - m_1g \sin\alpha \\ m_2a_x = m_2g - T \end{cases}$

Из первого уравнения выразим силу натяжения нити $\text{T}$: $T = m_1a_x + m_1g \sin\alpha$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$m_2a_x = m_2g - (m_1a_x + m_1g \sin\alpha)$

$m_2a_x = m_2g - m_1a_x - m_1g \sin\alpha$

$m_1a_x + m_2a_x = m_2g - m_1g \sin\alpha$

$a_x(m_1 + m_2) = g(m_2 - m_1 \sin\alpha)$

Отсюда находим проекцию ускорения бруска на ось $x_1$:

$a_x = \frac{g(m_2 - m_1 \sin\alpha)}{m_1 + m_2}$

Ответ: $a_{1x} = \frac{g(m_2 - m_1 \sin\alpha)}{m_1 + m_2}$.

Для решения следующих пунктов выполним вычисления.

Дано:

$m_1 = 400 \text{ г}$

$m_2 = 100 \text{ г}$

$\alpha = 30^\circ$

$m_1 = 0.4 \text{ кг}$
$m_2 = 0.1 \text{ кг}$

Найти:

г) Направление $\vec{a}_1$ и $\vec{a}_2$

д) $a_1, a_2$

Решение:

Воспользуемся формулой для проекции ускорения, полученной в пункте в):

$a_x = \frac{g(m_2 - m_1 \sin\alpha)}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения. Примем $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

$\sin 30^\circ = 0.5$

$a_x = \frac{9.8 \cdot (0.1 - 0.4 \cdot 0.5)}{0.4 + 0.1} = \frac{9.8 \cdot (0.1 - 0.2)}{0.5} = \frac{9.8 \cdot (-0.1)}{0.5} = \frac{-0.98}{0.5} = -1.96 \text{ м/с}^2$.

Проекция ускорения $a_x = a_{1x} = a_{2y}$ оказалась отрицательной.

г) Как направлены ускорения бруска и цилиндра при заданных значениях массы тел и угла наклона плоскости?

Так как проекция ускорения бруска на ось $x_1$ отрицательна ($a_{1x} < 0$), его ускорение $\vec{a}_1$ направлено в сторону, противоположную оси $x_1$, то есть вниз по наклонной плоскости.

Так как проекция ускорения цилиндра на ось $y_2$ также отрицательна ($a_{2y} < 0$), его ускорение $\vec{a}_2$ направлено в сторону, противоположную оси $y_2$, то есть вертикально вверх.

Ответ: Ускорение бруска направлено вниз по наклонной плоскости, ускорение цилиндра направлено вертикально вверх.

д) Чему равны ускорения бруска и цилиндра?

Модули ускорений бруска и цилиндра равны модулю проекции $a_x$, найденной в ходе решения.

$a_1 = a_2 = |a_x| = |-1.96 \text{ м/с}^2| = 1.96 \text{ м/с}^2$.

Ответ: Ускорения бруска и цилиндра равны по модулю и составляют $1.96 \text{ м/с}^2$.