Номер 16, страница 129, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 12. Движение системы тел - номер 16, страница 129.

Условие.

16. Два бруска массами $m_1 = 3$ кг и $m_2 = 2$ кг, соединённые пружиной жёсткостью $k = 300$ Н/м, под действием силы $F = 30$ Н, направленной под углом $\alpha = 30^\circ$ к горизонту, движутся по гладкому столу (рис. 12.10). Найдите удлинение пружины.

Рис. 12.10

Решение 2.

Дано:

$m_1 = 3$ кг

$m_2 = 2$ кг

$k = 300$ Н/м

$F = 30$ Н

$\alpha = 30^\circ$

Все данные представлены в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

$\Delta x$

Решение:

Поскольку бруски движутся по гладкому столу, силой трения можно пренебречь. Так как бруски соединены пружиной, они движутся как единое целое с одинаковым ускорением $\text{a}$.

Сначала рассмотрим систему из двух брусков как единое целое, чтобы найти общее ускорение. Суммарная масса системы $M = m_1 + m_2$. Внешней силой, движущей систему в горизонтальном направлении, является горизонтальная составляющая силы $\text{F}$. Сила упругости пружины является внутренней силой и при рассмотрении системы в целом не учитывается.

Запишем второй закон Ньютона для всей системы в проекции на горизонтальную ось:

$(m_1 + m_2)a = F \cos \alpha$

Отсюда можем выразить ускорение системы:

$a = \frac{F \cos \alpha}{m_1 + m_2}$

Теперь рассмотрим второй брусок массой $m_2$. В горизонтальном направлении на него действует только одна сила — сила упругости пружины $F_{упр}$. Эта сила и сообщает бруску $m_2$ ускорение $\text{a}$.

Запишем второй закон Ньютона для второго бруска:

$F_{упр} = m_2 a$

Подставим в это уравнение ранее найденное выражение для ускорения $\text{a}$:

$F_{упр} = m_2 \frac{F \cos \alpha}{m_1 + m_2}$

По закону Гука, сила упругости связана с удлинением пружины $\Delta x$ следующим образом:

$F_{упр} = k \Delta x$

Приравнивая два выражения для силы упругости, получаем:

$k \Delta x = \frac{m_2 F \cos \alpha}{m_1 + m_2}$

Из этого уравнения выразим искомое удлинение пружины $\Delta x$:

$\Delta x = \frac{m_2 F \cos \alpha}{k(m_1 + m_2)}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\Delta x = \frac{2 \cdot 30 \cdot \cos 30^\circ}{300 \cdot (3 + 2)} = \frac{60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{300 \cdot 5} = \frac{30\sqrt{3}}{1500} = \frac{\sqrt{3}}{50}$ м.

Вычислим приближенное значение:

$\Delta x \approx \frac{1.732}{50} \approx 0.03464$ м.

Результат можно представить в сантиметрах: $\Delta x \approx 3.5$ см.

Ответ: удлинение пружины составляет $\Delta x = \frac{\sqrt{3}}{50}$ м, что приблизительно равно $0.035$ м или $3.5$ см.