Номер 20, страница 130, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 12. Движение системы тел - номер 20, страница 130.

Условие.

20. К бруску массой $4m$ с помощью нитей, переброшенных через блоки, привязаны две гири массами $\text{m}$ и $2m$ соответственно (рис. 12.13). В начальный момент тела покоятся. Чему равно ускорение системы тел, если коэффициент трения между бруском и столом равен 0,2, а $m = 1 \text{ кг}$? Чему равны силы натяжения каждой нити?

Рис. 12.13

Решение 2.

Дано:

Масса бруска $M = 4m$

Масса левой гири $m_1 = m$

Масса правой гири $m_2 = 2m$

$m = 1$ кг

Коэффициент трения $\mu = 0,2$

Ускорение свободного падения $g = 9,8$ м/с²

Массы в системе СИ:

$m_1 = 1$ кг

$m_2 = 2 \cdot 1 = 2$ кг

$M = 4 \cdot 1 = 4$ кг

Найти:

$\text{a}$ — ускорение системы;

$T_1$ — сила натяжения левой нити;

$T_2$ — сила натяжения правой нити.

Решение:

Так как масса правой гири ($m_2 = 2m$) больше массы левой гири ($m_1 = m$), то система будет двигаться вправо. Гиря $m_2$ будет опускаться, гиря $m_1$ — подниматься, а брусок $\text{M}$ — скользить по столу вправо. Все тела системы движутся с одинаковым по модулю ускорением $\text{a}$.

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в проекции на направление движения:

1. Для левой гири (массой $\text{m}$), движущейся вверх:

$T_1 - m_1 g = m_1 a \implies T_1 - mg = ma$

2. Для правой гири (массой $2m$), движущейся вниз:

$m_2 g - T_2 = m_2 a \implies 2mg - T_2 = 2ma$

3. Для бруска (массой $4m$), движущегося вправо:

$T_2 - T_1 - F_{тр} = M a$

Сила трения скольжения $F_{тр}$ равна $F_{тр} = \mu N$, где $\text{N}$ — сила нормальной реакции опоры. В данном случае, так как брусок движется по горизонтальной поверхности, $N = Mg = 4mg$. Следовательно, $F_{тр} = \mu \cdot 4mg$.

Тогда уравнение для бруска примет вид:

$T_2 - T_1 - 4\mu mg = 4ma$

Получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными ($a, T_1, T_2$):

$\begin{cases} T_1 - mg = ma \\ 2mg - T_2 = 2ma \\ T_2 - T_1 - 4\mu mg = 4ma \end{cases}$

Чтобы найти ускорение, можно сложить все три уравнения. Однако проще рассмотреть систему как единое целое. Движущая сила — это сила тяжести гири $m_2$. Противодействующие силы — сила тяжести гири $m_1$ и сила трения, действующая на брусок $\text{M}$. Общая масса системы, которую нужно ускорять, равна $M_{общ} = m_1 + m_2 + M = m + 2m + 4m = 7m$.

По второму закону Ньютона для всей системы:

$m_2 g - m_1 g - F_{тр} = M_{общ} a$

$2mg - mg - 4\mu mg = 7ma$

Сократим на $\text{m}$:

$g - 4\mu g = 7a \implies g(1 - 4\mu) = 7a$

Отсюда выразим ускорение $\text{a}$:

$a = \frac{g(1 - 4\mu)}{7}$

Чему равно ускорение системы тел

Подставим числовые значения:

$a = \frac{9,8 \, м/с^2 \cdot (1 - 4 \cdot 0,2)}{7} = \frac{9,8 \cdot (1 - 0,8)}{7} = \frac{9,8 \cdot 0,2}{7} = \frac{1,96}{7} = 0,28 \, м/с^2$

Ответ: Ускорение системы тел равно $0,28 \, м/с^2$.

Чему равны силы натяжения каждой нити

Теперь найдем силы натяжения нитей, используя найденное ускорение.

Сила натяжения левой нити $T_1$ из первого уравнения:

$T_1 = mg + ma = m(g+a)$

$T_1 = 1 \, кг \cdot (9,8 \, м/с^2 + 0,28 \, м/с^2) = 1 \cdot 10,08 = 10,08 \, Н$

Сила натяжения правой нити $T_2$ из второго уравнения:

$T_2 = 2mg - 2ma = 2m(g-a)$

$T_2 = 2 \cdot 1 \, кг \cdot (9,8 \, м/с^2 - 0,28 \, м/с^2) = 2 \cdot 9,52 = 19,04 \, Н$

Ответ: Сила натяжения нити, к которой привязана гиря массой $\text{m}$, равна $10,08 \, Н$. Сила натяжения нити, к которой привязана гиря массой $2m$, равна $19,04 \, Н$.