Номер 10, страница 126, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 12. Движение системы тел - номер 10, страница 126.

Условие.

10. На рисунке 12.7 изображена система тел, связанных лёгкой нерастяжимой нитью. Масса бруска $m_б = 300$ г, масса цилиндра $m_ц = 400$ г, угол наклона плоскости $\alpha = 30^{\circ}$, трением и массой блока можно пренебречь. Чему равны ускорения тел и как они направлены?

Рис. 12.7

Решение 2.

Дано:

$m_б = 300$ г

$m_ц = 400$ г

$\alpha = 30°$

Трением, а также массами нити и блоков можно пренебречь.

Перевод в систему СИ:

$m_б = 0.3$ кг

$m_ц = 0.4$ кг

Найти:

$a_б$, $a_ц$ — ускорения бруска и цилиндра, и их направления.

Решение:

1. Рассмотрим силы, действующие на тела. На брусок на наклонной плоскости действуют: сила тяжести $m_б \vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ и сила натяжения нити $\vec{T}$. На подвешенный цилиндр действуют: сила тяжести $m_ц \vec{g}$ и сила со стороны подвижного блока, равная $2\vec{T}$, так как нить, удерживающая этот блок, одна, и на него действуют две её ветви с натяжением $\text{T}$ в каждой.

2. Чтобы определить направление движения системы, сравним силу, тянущую брусок вниз по наклонной плоскости ($F_{\text{тяг.б}} = m_б g \sin \alpha$), с силой, которую создаёт вес цилиндра через систему блоков. Эта сила, действующая на брусок вверх по плоскости, равна натяжению нити $\text{T}$. В случае равновесия $2T$ уравновешивало бы вес цилиндра, т.е. $T = m_ц g / 2$. Сравним эти две силы:

$F_{\text{тяг.б}} = 0.3 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot \sin(30°) = 0.3 \cdot 9.8 \cdot 0.5 = 1.47$ Н.

Сила от цилиндра (в статическом приближении): $T_{\text{равн.}} = \frac{m_ц g}{2} = \frac{0.4 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{2} = 1.96$ Н.

Поскольку $1.96 \text{ Н} > 1.47 \text{ Н}$, система начнёт движение так, что цилиндр будет опускаться, а брусок — подниматься по наклонной плоскости. Таким образом, ускорение бруска $a_б$ направлено вверх по наклонной плоскости, а ускорение цилиндра $a_ц$ — вертикально вниз.

3. Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в проекциях на оси, совпадающие с направлением их ускорений.

Для бруска (ось направлена вверх по наклонной плоскости):

$T - m_б g \sin \alpha = m_б a_б$ (1)

Для цилиндра (ось направлена вертикально вниз):

$m_ц g - 2T = m_ц a_ц$ (2)

4. Установим кинематическую связь между ускорениями. Подвижный блок дает проигрыш в расстоянии в 2 раза. Это означает, что перемещение бруска в 2 раза больше перемещения цилиндра за одно и то же время. Следовательно, их ускорения связаны соотношением:

$a_б = 2a_ц$ (3)

5. Решим полученную систему уравнений (1), (2), (3). Из (3) выразим $a_ц = a_б / 2$ и подставим в (2):

$m_ц g - 2T = m_ц a_б / 2$

Из уравнения (1) выразим натяжение $T = m_б a_б + m_б g \sin \alpha$ и подставим в предыдущее выражение:

$m_ц g - 2(m_б a_б + m_б g \sin \alpha) = m_ц a_б / 2$

Раскроем скобки и выразим $a_б$:

$m_ц g - 2m_б g \sin \alpha = m_ц a_б / 2 + 2m_б a_б$

$g(m_ц - 2m_б \sin \alpha) = a_б (\frac{m_ц}{2} + 2m_б) = a_б \frac{m_ц + 4m_б}{2}$

Отсюда получаем итоговую формулу для ускорения бруска:

$a_б = \frac{2g(m_ц - 2m_б \sin \alpha)}{m_ц + 4m_б}$

6. Подставим числовые значения, приняв $g \approx 9.8$ м/с$^2$:

$a_б = \frac{2 \cdot 9.8 \cdot (0.4 - 2 \cdot 0.3 \cdot \sin 30°)}{0.4 + 4 \cdot 0.3} = \frac{19.6 \cdot (0.4 - 0.3)}{0.4 + 1.2} = \frac{1.96}{1.6} = 1.225 \text{ м/с}^2$.

Найдем ускорение цилиндра:

$a_ц = \frac{a_б}{2} = \frac{1.225 \text{ м/с}^2}{2} = 0.6125 \text{ м/с}^2$.

Округлим результаты до трех значащих цифр.

Ответ: Ускорение бруска равно $1.23$ м/с$^2$ и направлено вверх по наклонной плоскости. Ускорение цилиндра равно $0.613$ м/с$^2$ и направлено вертикально вниз.