Номер 11, страница 127, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 12. Движение системы тел - номер 11, страница 127.

Условие.

11. На гладком столе один на другом лежат два бруска (рис. 12.8). Масса верхнего бруска $m_в = 1$ кг, масса нижнего бруска $m_н = 200$ г. Коэффициент трения между брусками $\mu = 0,4$. К верхнему бруску прикладывают горизонтально направленную силу $\vec{F}$, равную по модулю 20 Н.

Рис. 12.8

а) Какие силы действуют на верхний брусок?

б) Какие силы действуют на нижний брусок?

Предположим, что между брусками действуют силы трения скольжения: в таком случае бруски движутся друг относительно друга, поэтому их ускорения различны, причём ускорение верхнего бруска больше.

в) Запишите второй закон Ньютона в проекциях на ось $\text{x}$ для каждого бруска, предположив, что между ними действуют силы трения скольжения. Подставьте в эти уравнения выражения для сил трения скольжения.

г) Найдите ускорения брусков при заданных в условии значениях величин.

д) Могут ли полученные значения ускорений брусков быть правильными? Обоснуйте ваш ответ.

Итак, предположение, что между брусками действуют силы трения скольжения, привело к противоречию. Значит, между брусками действуют силы трения покоя.

е) Запишите второй закон Ньютона в проекциях на ось $\text{x}$ для каждого бруска, предположив, что между ними действуют силы трения покоя.

ж) Найдите ускорение брусков при заданных в условии значениях величин.

з) Чему равен модуль сил трения покоя, действующих между брусками?

Как мы знаем, сила трения покоя не может превышать максимальной силы трения покоя, которую мы принимаем равной силе трения скольжения.

и) Выполняется ли это неравенство для сил трения покоя в данном случае?

Итак, в данном случае бруски будут двигаться как единое целое и между ними будут действовать силы трения покоя.

к) С каким максимально возможным ускорением может двигаться нижний брусок?

л) Какую горизонтальную силу надо приложить к верхнему бруску, чтобы «сорвать» его с нижнего бруска?

Может возникнуть вопрос: почему для того, чтобы сорвать массивный верхний брусок с лёгкого нижнего, к верхнему бруску необходимо приложить силу, значительно превышающую максимальную силу трения покоя между брусками?

Дело в том, что нижний брусок может скользить без трения по столу, поэтому верхний брусок будет увлекать за собой нижний, действуя на него силой трения. Чтобы верхний брусок начал двигаться относительно нижнего, верхнему бруску надо сообщить ускорение, превышающее максимально возможное ускорение нижнего бруска. Если масса верхнего бруска велика, то для сообщения этому бруску достаточно большого ускорения к нему нужно приложить довольно большую силу.

Например, в нашем примере максимальная сила трения покоя между брусками равна 4 Н, она сообщает нижнему бруску массой 0,2 кг ускорение 20 м/с$^2$. Значит чтобы сорвать верхний брусок с нижнего, верхнему бруску надо сообщить ускорение, превышающее 20 м/с$^2$. Для этого приложенная к верхнему бруску массой 1 кг сила должна превышать 20 Н (даже без учёта силы трения со стороны нижнего бруска), что значительно превышает максимальную силу трения покоя между брусками, равную 4 Н.

Решение 2.

Дано

Масса верхнего бруска $m_в = 1$ кг
Масса нижнего бруска $m_н = 200$ г
Коэффициент трения между брусками $\mu = 0,4$
Приложенная сила $F = 20$ Н
Ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{м}{с^2}$ (принимаем для удобства расчетов)

Перевод в систему СИ:
$m_н = 200 \text{ г} = 0,2 \text{ кг}$

Найти:

а) Силы, действующие на верхний брусок.
б) Силы, действующие на нижний брусок.
в) Второй закон Ньютона для каждого бруска в предположении скольжения.
г) Ускорения брусков $a_в$, $a_н$ в предположении скольжения.
д) Обоснование правильности/неправильности полученных ускорений.
е) Второй закон Ньютона для каждого бруска в предположении движения без скольжения.
ж) Ускорение брусков $\text{a}$ при движении без скольжения.
з) Модуль силы трения покоя $F_{тр.п}$.
и) Проверка условия для силы трения покоя.
к) Максимально возможное ускорение нижнего бруска $a_{max}$.
л) Силу $F_{срыва}$, которую надо приложить для срыва брусков.

Решение

а) На верхний брусок действуют следующие силы:
1. Сила тяжести $m_в \vec{g}$, направленная вертикально вниз.
2. Сила реакции опоры со стороны нижнего бруска $\vec{N_в}$, направленная вертикально вверх.
3. Внешняя приложенная сила $\vec{F}$, направленная горизонтально.
4. Сила трения со стороны нижнего бруска $\vec{F}_{тр1}$, направленная горизонтально против возможного движения, то есть влево.
Ответ: На верхний брусок действуют: сила тяжести $m_в \vec{g}$, сила реакции опоры $\vec{N_в}$, приложенная сила $\vec{F}$ и сила трения $\vec{F}_{тр1}$.

б) На нижний брусок действуют следующие силы:
1. Сила тяжести $m_н \vec{g}$, направленная вертикально вниз.
2. Сила давления со стороны верхнего бруска $\vec{P_в}$ (равная по модулю $\vec{N_в}$), направленная вертикально вниз.
3. Сила реакции опоры со стороны гладкого стола $\vec{N_н}$, направленная вертикально вверх.
4. Сила трения со стороны верхнего бруска $\vec{F}_{тр2}$, направленная горизонтально в сторону движения, то есть вправо (по третьему закону Ньютона она равна по модулю и противоположна по направлению силе $\vec{F}_{тр1}$).
Стол гладкий, поэтому сила трения между нижним бруском и столом отсутствует.
Ответ: На нижний брусок действуют: сила тяжести $m_н \vec{g}$, сила давления верхнего бруска $\vec{P_в}$, сила реакции опоры стола $\vec{N_н}$ и сила трения $\vec{F}_{тр2}$.

в) Предположим, что между брусками действует сила трения скольжения. Это означает, что верхний брусок скользит по нижнему. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси X и Y для каждого бруска.
Для верхнего бруска:
Ось Y: $N_в - m_в g = 0 \implies N_в = m_в g$
Ось X: $F - F_{тр.ск} = m_в a_в$
Сила трения скольжения: $F_{тр.ск} = \mu N_в = \mu m_в g$
Подставив, получаем: $F - \mu m_в g = m_в a_в$
Для нижнего бруска:
Ось X: $F_{тр.ск} = m_н a_н$ (по третьему закону Ньютона сила трения, действующая на нижний брусок, равна по модулю силе трения, действующей на верхний).
Подставив, получаем: $\mu m_в g = m_н a_н$
Ответ: Уравнения движения: для верхнего бруска $F - \mu m_в g = m_в a_в$, для нижнего бруска $\mu m_в g = m_н a_н$.

г) Найдем ускорения из уравнений, полученных в пункте (в), подставив числовые значения.
Ускорение верхнего бруска:
$a_в = \frac{F - \mu m_в g}{m_в} = \frac{20 - 0,4 \cdot 1 \cdot 10}{1} = \frac{20 - 4}{1} = 16 \frac{м}{с^2}$
Ускорение нижнего бруска:
$a_н = \frac{\mu m_в g}{m_н} = \frac{0,4 \cdot 1 \cdot 10}{0,2} = \frac{4}{0,2} = 20 \frac{м}{с^2}$
Ответ: $a_в = 16 \frac{м}{с^2}$, $a_н = 20 \frac{м}{с^2}$.

д) Полученные значения ускорений ($a_в = 16 \frac{м}{с^2}$, $a_н = 20 \frac{м}{с^2}$) не могут быть правильными. Результат $a_н > a_в$ является физически невозможным. Нижний брусок приводится в движение силой трения, создаваемой верхним бруском. Поэтому ускорение нижнего бруска не может быть больше ускорения верхнего. Противоречие означает, что наше первоначальное предположение о том, что бруски скользят друг относительно друга, неверно. Следовательно, между брусками действует сила трения покоя, и они движутся вместе как единое целое.
Ответ: Нет, не могут. Ускорение нижнего бруска не может быть больше ускорения верхнего, так как сила трения от верхнего бруска является единственной силой, ускоряющей нижний. Это означает, что предположение о скольжении неверно.

е) Запишем второй закон Ньютона, предположив, что между брусками действует сила трения покоя $F_{тр.п}$ и они движутся с одинаковым ускорением $\text{a}$.
Для верхнего бруска (ось X): $F - F_{тр.п} = m_в a$
Для нижнего бруска (ось X): $F_{тр.п} = m_н a$
Ответ: Уравнения движения: $F - F_{тр.п} = m_в a$ (для верхнего) и $F_{тр.п} = m_н a$ (для нижнего).

ж) Чтобы найти общее ускорение $\text{a}$, можно сложить уравнения из пункта (е) или рассмотреть систему из двух брусков как единое целое с массой $M = m_в + m_н$. Внешняя горизонтальная сила, действующая на систему, — это $\text{F}$.
По второму закону Ньютона для системы: $F = (m_в + m_н) a$
$a = \frac{F}{m_в + m_н} = \frac{20}{1 + 0,2} = \frac{20}{1,2} = \frac{200}{12} = \frac{50}{3} \approx 16,67 \frac{м}{с^2}$
Ответ: Ускорение брусков $a = \frac{50}{3} \approx 16,67 \frac{м}{с^2}$.

з) Теперь найдем модуль силы трения покоя, используя уравнение для нижнего бруска и найденное ускорение $\text{a}$.
$F_{тр.п} = m_н a = 0,2 \cdot \frac{50}{3} = \frac{10}{3} \approx 3,33$ Н
Ответ: Модуль силы трения покоя $F_{тр.п} = \frac{10}{3} \approx 3,33$ Н.

и) Сила трения покоя не может превышать максимальную силу трения покоя, которая равна силе трения скольжения: $F_{тр.п} \le F_{тр.п.max}$.
Найдем максимальную силу трения покоя:
$F_{тр.п.max} = \mu N_в = \mu m_в g = 0,4 \cdot 1 \cdot 10 = 4$ Н.
Сравним найденную силу трения покоя с максимальной:
$F_{тр.п} = 3,33$ Н, $F_{тр.п.max} = 4$ Н.
Неравенство $3,33 \text{ Н} \le 4 \text{ Н}$ выполняется. Это подтверждает, что наше предположение о совместном движении брусков верно.
Ответ: Да, выполняется. $3,33 \text{ Н} \le 4 \text{ Н}$, что подтверждает правильность предположения о движении брусков как единого целого.

к) Нижний брусок ускоряется только за счет силы трения от верхнего бруска. Максимально возможное ускорение нижнего бруска $a_{max}$ достигается, когда сила трения достигает своего максимального значения $F_{тр.п.max}$.
$F_{тр.п.max} = m_н a_{max}$
$a_{max} = \frac{F_{тр.п.max}}{m_н} = \frac{\mu m_в g}{m_н} = \frac{4}{0,2} = 20 \frac{м}{с^2}$
Это максимальное ускорение, с которым система может двигаться без проскальзывания.
Ответ: Максимально возможное ускорение нижнего бруска $a_{max} = 20 \frac{м}{с^2}$.

л) Чтобы "сорвать" верхний брусок с нижнего, то есть заставить их проскальзывать, нужно приложить такую силу $F_{срыва}$, которая сообщит системе ускорение, равное или большее $a_{max}$. Найдем силу, которая требуется для движения системы как единого целого с ускорением $a_{max}$.
$F_{срыва} = (m_в + m_н) a_{max}$
$F_{срыва} = (1 + 0,2) \cdot 20 = 1,2 \cdot 20 = 24$ Н
Любая сила, большая 24 Н, вызовет проскальзывание.
Ответ: Нужно приложить силу, большую 24 Н. Пороговое значение силы составляет $F_{срыва} = 24$ Н.