Номер 26, страница 121, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 11. Равномерное движение по окружности под действием нескольких сил - номер 26, страница 121.

Условие.

26. На внутренней поверхности конуса, образующая которого составляет угол $\alpha = 30^\circ$ с горизонтом, лежит маленький брусок (рис. 11.10). Конус равномерно вращается вокруг вертикальной оси. Расстояние от бруска до оси вращения¹) $r = 0,1$ м, коэффициент трения между бруском и поверхностью конуса $\mu = 0,3$.

Рис. 11.10

a) С какой частотой $v_0$ должен вращаться конус, чтобы сила трения, действующая на брусок, была равна нулю?

б) При какой минимальной частоте вращения конуса брусок может покоиться относительно него?

в) При какой максимальной частоте вращения конуса брусок может покоиться относительно него?

Решение 2.

Дано:

Угол образующей конуса с горизонтом, $\alpha = 30^{\circ}$

Расстояние от бруска до оси вращения, $r = 0,1$ м

Коэффициент трения, $\mu = 0,3$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

а) Частоту вращения $\nu_0$, при которой сила трения равна нулю.

б) Минимальную частоту вращения $\nu_{min}$, при которой брусок покоится.

в) Максимальную частоту вращения $\nu_{max}$, при которой брусок покоится.

Решение:

Брусок движется по окружности радиусом $\text{r}$ в горизонтальной плоскости. Следовательно, на него действует центростремительное ускорение $a_c = \omega^2 r = (2\pi\nu)^2 r$, направленное к оси вращения. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальную (ось X, направлена к центру вращения) и вертикальную (ось Y, направлена вверх) оси.

На брусок действуют: сила тяжести $m\vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ (перпендикулярна поверхности конуса) и сила трения покоя $\vec{F}_{тр}$ (направлена вдоль поверхности конуса).

Сила нормальной реакции $\vec{N}$ составляет угол $\alpha$ с вертикалью. Ее проекции: $N_x = N \sin \alpha$, $N_y = N \cos \alpha$.

Сила трения $\vec{F}_{тр}$ направлена вдоль образующей конуса, которая составляет угол $\alpha$ с горизонтом.

а) С какой частотой $\nu_0$ должен вращаться конус, чтобы сила трения, действующая на брусок, была равна нулю?

В этом случае на брусок действуют только сила тяжести и сила нормальной реакции ($F_{тр} = 0$).

Проекция на ось Y: $\sum F_y = N_y - mg = 0 \Rightarrow N \cos \alpha = mg$.

Отсюда $N = \frac{mg}{\cos \alpha}$.

Проекция на ось X: $\sum F_x = N_x = ma_c \Rightarrow N \sin \alpha = m(2\pi\nu_0)^2 r$.

Подставим выражение для $\text{N}$:

$\frac{mg}{\cos \alpha} \sin \alpha = m(2\pi\nu_0)^2 r$

$g \tan \alpha = (2\pi\nu_0)^2 r$

Выразим частоту $\nu_0$:

$\nu_0 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g \tan \alpha}{r}}$

Подставим числовые значения:

$\nu_0 = \frac{1}{2 \cdot 3,14} \sqrt{\frac{9,8 \cdot \tan 30^{\circ}}{0,1}} = \frac{1}{6,28} \sqrt{\frac{9,8 \cdot 0,577}{0,1}} \approx \frac{1}{6,28} \sqrt{56,55} \approx \frac{7,52}{6,28} \approx 1,20$ Гц.

Ответ: $\nu_0 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g \tan \alpha}{r}} \approx 1,20$ Гц.

б) При какой минимальной частоте вращения конуса брусок может покоиться относительно него?

При минимальной частоте брусок стремится соскользнуть вниз по наклонной поверхности. Сила трения покоя направлена вверх вдоль поверхности конуса, и ее величина максимальна: $F_{тр} = \mu N$.

Проекции силы трения: $F_{тр,x} = -F_{тр} \cos \alpha$ (направлена от центра), $F_{тр,y} = F_{тр} \sin \alpha$ (направлена вверх).

Запишем уравнения второго закона Ньютона:

Ось Y: $N \cos \alpha + F_{тр} \sin \alpha - mg = 0 \Rightarrow N(\cos \alpha + \mu \sin \alpha) = mg$.

Ось X: $N \sin \alpha - F_{тр} \cos \alpha = m(2\pi\nu_{min})^2 r \Rightarrow N(\sin \alpha - \mu \cos \alpha) = m(2\pi\nu_{min})^2 r$.

Из первого уравнения выразим $N = \frac{mg}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}$ и подставим во второе:

$\frac{mg(\sin \alpha - \mu \cos \alpha)}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha} = m(2\pi\nu_{min})^2 r$

$g \frac{\tan \alpha - \mu}{1 + \mu \tan \alpha} = (2\pi\nu_{min})^2 r$

Выразим частоту $\nu_{min}$:

$\nu_{min} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{r} \frac{\tan \alpha - \mu}{1 + \mu \tan \alpha}}$

Подставим числовые значения:

$\nu_{min} = \frac{1}{2 \cdot 3,14} \sqrt{\frac{9,8}{0,1} \frac{\tan 30^{\circ} - 0,3}{1 + 0,3 \cdot \tan 30^{\circ}}} = \frac{1}{6,28} \sqrt{98 \frac{0,577 - 0,3}{1 + 0,3 \cdot 0,577}} \approx \frac{1}{6,28} \sqrt{98 \frac{0,277}{1,173}} \approx \frac{1}{6,28} \sqrt{23,15} \approx \frac{4,81}{6,28} \approx 0,77$ Гц.

Ответ: $\nu_{min} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{r} \frac{\tan \alpha - \mu}{1 + \mu \tan \alpha}} \approx 0,77$ Гц.

в) При какой максимальной частоте вращения конуса брусок может покоиться относительно него?

При максимальной частоте брусок стремится сместиться вверх по наклонной поверхности. Сила трения покоя направлена вниз вдоль поверхности конуса, и ее величина максимальна: $F_{тр} = \mu N$.

Проекции силы трения: $F_{тр,x} = F_{тр} \cos \alpha$ (направлена к центру), $F_{тр,y} = -F_{тр} \sin \alpha$ (направлена вниз).

Запишем уравнения второго закона Ньютона:

Ось Y: $N \cos \alpha - F_{тр} \sin \alpha - mg = 0 \Rightarrow N(\cos \alpha - \mu \sin \alpha) = mg$.

Ось X: $N \sin \alpha + F_{тр} \cos \alpha = m(2\pi\nu_{max})^2 r \Rightarrow N(\sin \alpha + \mu \cos \alpha) = m(2\pi\nu_{max})^2 r$.

Из первого уравнения выразим $N = \frac{mg}{\cos \alpha - \mu \sin \alpha}$ и подставим во второе:

$\frac{mg(\sin \alpha + \mu \cos \alpha)}{\cos \alpha - \mu \sin \alpha} = m(2\pi\nu_{max})^2 r$

$g \frac{\tan \alpha + \mu}{1 - \mu \tan \alpha} = (2\pi\nu_{max})^2 r$

Выразим частоту $\nu_{max}$:

$\nu_{max} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{r} \frac{\tan \alpha + \mu}{1 - \mu \tan \alpha}}$

Подставим числовые значения:

$\nu_{max} = \frac{1}{2 \cdot 3,14} \sqrt{\frac{9,8}{0,1} \frac{\tan 30^{\circ} + 0,3}{1 - 0,3 \cdot \tan 30^{\circ}}} = \frac{1}{6,28} \sqrt{98 \frac{0,577 + 0,3}{1 - 0,3 \cdot 0,577}} \approx \frac{1}{6,28} \sqrt{98 \frac{0,877}{0,827}} \approx \frac{1}{6,28} \sqrt{103,9} \approx \frac{10,2}{6,28} \approx 1,62$ Гц.

Ответ: $\nu_{max} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{r} \frac{\tan \alpha + \mu}{1 - \mu \tan \alpha}} \approx 1,62$ Гц.