Номер 22, страница 120, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 11. Равномерное движение по окружности под действием нескольких сил - номер 22, страница 120.

Условие.

22. Автомобиль, движущийся со скоростью 54 км/ч, совершает поворот по дуге радиусом 100 м. Чему должен быть равен угол наклона полотна дороги на повороте, чтобы автомобиль смог совершить поворот во время гололёда?

Решение 2.

Дано:

Скорость автомобиля $v = 54$ км/ч.

Радиус дуги $R = 100$ м.

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с².

Перевод в систему СИ:

$v = 54 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 54 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 15$ м/с.

Найти:

Угол наклона полотна дороги $\alpha$.

Решение:

Для того чтобы автомобиль мог совершить поворот в условиях гололёда, то есть без участия силы трения, необходимо, чтобы равнодействующая силы тяжести и силы нормальной реакции опоры создавала необходимое центростремительное ускорение.

На автомобиль действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно полотну дороги. Пусть угол наклона дороги к горизонту равен $\alpha$.

Выберем систему координат: ось OY направим вертикально вверх, а ось OX — горизонтально к центру поворота. Движение по окружности происходит с центростремительным ускорением $a_ц = \frac{v^2}{R}$, направленным по оси OX.

Согласно второму закону Ньютона, сумма проекций всех сил на ось равна произведению массы на проекцию ускорения на ту же ось.

Проекция на ось OX:

$N \sin(\alpha) = m a_ц$

$N \sin(\alpha) = m \frac{v^2}{R}$ (1)

Поскольку по вертикали автомобиль не движется, ускорение в проекции на ось OY равно нулю.

Проекция на ось OY:

$N \cos(\alpha) - mg = 0$

$N \cos(\alpha) = mg$ (2)

Чтобы найти искомый угол $\alpha$, разделим почленно уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{N \sin(\alpha)}{N \cos(\alpha)} = \frac{m \frac{v^2}{R}}{mg}$

Сократив $\text{N}$ и $\text{m}$, получим выражение для тангенса угла наклона:

$\tan(\alpha) = \frac{v^2}{gR}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\tan(\alpha) = \frac{(15 \text{ м/с})^2}{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 100 \text{ м}} = \frac{225}{980} \approx 0.2296$

Теперь найдем угол $\alpha$, взяв арктангенс от полученного значения:

$\alpha = \arctan(0.2296) \approx 12.9^\circ$

Округлим результат до целого значения: $\alpha \approx 13^\circ$.

Ответ: Угол наклона полотна дороги должен быть равен примерно $13^\circ$.