Номер 21, страница 120, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 11. Равномерное движение по окружности под действием нескольких сил - номер 21, страница 120.

Условие.

21. Чему равна скорость поезда, движущегося по дуге радиусом 120 м, если нить, на которой подвешен в вагоне поезда груз, отклоняется от вертикали на угол 30°?

Решение 2.

Дано:

Радиус дуги, $R = 120$ м

Угол отклонения нити от вертикали, $\alpha = 30^\circ$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

Скорость поезда, $\text{v}$ - ?

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на груз, подвешенный на нити в вагоне поезда, в инерциальной системе отсчета, связанной с землей. На груз действуют две силы: сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити под углом $\alpha$ к вертикали.

Поскольку поезд движется по дуге окружности, груз вместе с ним движется с центростремительным ускорением $\vec{a_c}$, направленным горизонтально к центру дуги. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение:

$\vec{F_g} + \vec{T} = m\vec{a_c}$

Для решения задачи выберем систему координат. Направим ось OY вертикально вверх, а ось OX – горизонтально к центру дуги окружности. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на эти оси:

Проекция на ось OY: $T_y - F_g = 0$ (так как по вертикали ускорение отсутствует).

$T \cos \alpha - mg = 0$

$T \cos \alpha = mg$ (1)

Проекция на ось OX: $T_x = ma_c$ (горизонтальная составляющая силы натяжения нити сообщает грузу центростремительное ускорение).

$T \sin \alpha = ma_c$ (2)

Центростремительное ускорение связано со скоростью поезда $\text{v}$ и радиусом дуги $\text{R}$ соотношением: $a_c = \frac{v^2}{R}$.

Подставим это выражение в уравнение (2):

$T \sin \alpha = m \frac{v^2}{R}$ (3)

Получили систему из двух уравнений (1) и (3):

$\begin{cases} T \cos \alpha = mg \\ T \sin \alpha = m \frac{v^2}{R} \end{cases}$

Чтобы найти скорость $\text{v}$, разделим уравнение (3) на уравнение (1). При этом сократятся неизвестные масса груза $\text{m}$ и сила натяжения нити $\text{T}$.

$\frac{T \sin \alpha}{T \cos \alpha} = \frac{m \frac{v^2}{R}}{mg}$

Используя тригонометрическое тождество $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$, получаем:

$\tan \alpha = \frac{v^2}{Rg}$

Выразим из этого уравнения искомую скорость $\text{v}$:

$v^2 = Rg \tan \alpha$

$v = \sqrt{Rg \tan \alpha}$

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{120 \, \text{м} \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot \tan 30^\circ} = \sqrt{1176 \, \text{м}^2/\text{с}^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} \approx \sqrt{1176 \cdot 0,577} \, \text{м/с} \approx \sqrt{678,9} \, \text{м/с} \approx 26,06$ м/с.

Округлив результат до десятых, получим $v \approx 26,1$ м/с.

Ответ: скорость поезда равна приблизительно 26,1 м/с.