Номер 14, страница 119, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 11. Равномерное движение по окружности под действием нескольких сил - номер 14, страница 119.

Условие.

14. Автомобиль едет по вертикальной стене, имеющей форму цилиндра радиусом 5 м (рис. 11.6). Коэффициент трения между колёсами и стеной равен 0,5. Какова минимально возможная скорость автомобиля? Примите, что автомобиль можно рассматривать как материальную точку.

Рис. 11.5

Рис. 11.6

В следующей ситуации главное — «узнать» конический маятник, хотя в описании речь идёт о полусфере.

Решение 2.

Дано:

Радиус цилиндрической стены, $R = 5$ м

Коэффициент трения, $\mu = 0,5$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \, \text{м/с}^2$

Найти:

Минимально возможную скорость автомобиля, $v_{min}$

Решение:

На автомобиль, движущийся по внутренней поверхности вертикальной цилиндрической стены, действуют три силы: сила тяжести ($mg$), направленная вертикально вниз; сила нормальной реакции опоры ($\text{N}$), направленная горизонтально к центру окружности; и сила трения ($F_{тр}$), действующая вдоль стены.

Чтобы автомобиль не соскальзывал вниз, сила трения должна быть направлена вертикально вверх. Минимальная скорость соответствует предельному случаю, когда сила трения покоя достигает своего максимального значения: $F_{тр} = \mu N$.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную (ось Y) и горизонтальную (ось X, направлена к центру окружности) оси.

Так как по вертикали движения нет, сумма сил, действующих вдоль оси Y, равна нулю. Сила трения уравновешивает силу тяжести:

$F_{тр} - mg = 0 \implies F_{тр} = mg$

Поскольку $F_{тр} = \mu N$ (для минимальной скорости), получаем:

$\mu N = mg$ (1)

По горизонтали на автомобиль действует только сила нормальной реакции опоры $\text{N}$. Она сообщает автомобилю центростремительное ускорение $a_c = \frac{v^2}{R}$. Согласно второму закону Ньютона:

$N = m a_c = m \frac{v^2}{R}$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $\text{N}$ из уравнения (2) в уравнение (1):

$\mu \left( m \frac{v_{min}^2}{R} \right) = mg$

Масса автомобиля $\text{m}$ сокращается:

$\mu \frac{v_{min}^2}{R} = g$

Выразим отсюда $v_{min}$:

$v_{min}^2 = \frac{gR}{\mu}$

$v_{min} = \sqrt{\frac{gR}{\mu}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$v_{min} = \sqrt{\frac{10 \, \text{м/с}^2 \cdot 5 \, \text{м}}{0,5}} = \sqrt{\frac{50}{0,5}} \, \text{м/с} = \sqrt{100} \, \text{м/с} = 10 \, \text{м/с}$

Ответ: минимально возможная скорость автомобиля равна $10 \, \text{м/с}$.