Номер 11, страница 118, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 11. Равномерное движение по окружности под действием нескольких сил - номер 11, страница 118.

Условие.

11. Подвешенный на нити длиной $50 \, \text{см}$ груз массой $100 \, \text{г}$ равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости. Сила натяжения нити равна $2 \, \text{Н}$.

a) На какой угол отклонена нить от вертикали?

б) Чему равен радиус окружности?

в) Чему равна скорость груза?

г) Чему равен период обращения груза?

Решение 2.

Дано:

Длина нити $l = 50$ см

Масса груза $m = 100$ г

Сила натяжения нити $T = 2$ Н

Примем ускорение свободного падения $g = 10$ м/с².

Перевод в систему СИ:

$l = 0.5$ м

$m = 0.1$ кг

Найти:

а) Угол отклонения нити от вертикали $\alpha$

б) Радиус окружности $\text{R}$

в) Скорость груза $\text{v}$

г) Период обращения груза $\text{P}$

Решение:

На груз, движущийся по окружности в горизонтальной плоскости (такая система называется коническим маятником), действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\text{T}$, направленная вдоль нити. Равнодействующая этих сил сообщает грузу центростремительное ускорение $a_c$, направленное горизонтально к центру окружности.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ($\text{Y}$) и горизонтальную ($\text{X}$) оси. Пусть $\alpha$ — угол отклонения нити от вертикали.

Проекция на ось $\text{Y}$: $T_y - F_g = 0 \implies T \cos \alpha = mg$. (1)

Проекция на ось $\text{X}$: $T_x = ma_c \implies T \sin \alpha = \frac{mv^2}{R}$. (2)

Геометрически радиус окружности $\text{R}$ связан с длиной нити $\text{l}$ и углом $\alpha$ как $R = l \sin \alpha$. (3)

а) На какой угол отклонена нить от вертикали?

Из уравнения (1) выразим косинус угла $\alpha$:

$\cos \alpha = \frac{mg}{T}$

Подставим числовые значения:

$\cos \alpha = \frac{0.1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{2 \text{ Н}} = \frac{1 \text{ Н}}{2 \text{ Н}} = 0.5$

Отсюда находим угол:

$\alpha = \arccos(0.5) = 60^\circ$

Ответ: нить отклонена на угол $60^\circ$ от вертикали.

б) Чему равен радиус окружности?

Используем соотношение (3) и найденное значение угла $\alpha$:

$R = l \sin \alpha = 0.5 \text{ м} \cdot \sin(60^\circ) = 0.5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ м.

Ответ: радиус окружности равен $\frac{\sqrt{3}}{4}$ м (приблизительно 0.43 м).

в) Чему равна скорость груза?

Из уравнения (2) выразим скорость $\text{v}$:

$v^2 = \frac{TR \sin \alpha}{m}$

Подставим известные значения:

$v^2 = \frac{2 \text{ Н} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{4} \text{ м}) \cdot \sin(60^\circ)}{0.1 \text{ кг}} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{0.1} = \frac{2 \cdot \frac{3}{8}}{0.1} = \frac{0.75}{0.1} = 7.5 \text{ (м/с)}^2$

Тогда скорость равна:

$v = \sqrt{7.5}$ м/с.

Ответ: скорость груза равна $\sqrt{7.5}$ м/с (приблизительно 2.7 м/с).

г) Чему равен период обращения груза?

Период обращения $\text{P}$ — это время одного полного оборота, он связан со скоростью и радиусом формулой $P = \frac{2\pi R}{v}$.

Подставим найденные значения $\text{R}$ и $\text{v}$:

$P = \frac{2\pi (\frac{\sqrt{3}}{4})}{\sqrt{7.5}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{2\sqrt{7.5}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{2\sqrt{15/2}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{2}{15}} = \frac{\pi\sqrt{6}}{2\sqrt{15}} = \frac{\pi\sqrt{2}}{2\sqrt{5}} = \frac{\pi\sqrt{10}}{10}$ с.

Проверим результат, используя формулу для периода конического маятника: $P = 2\pi\sqrt{\frac{l \cos\alpha}{g}}$.

$P = 2\pi\sqrt{\frac{0.5 \text{ м} \cdot \cos(60^\circ)}{10 \text{ м/с}^2}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.5 \cdot 0.5}{10}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.25}{10}} = 2\pi\sqrt{0.025} = 2\pi \frac{1}{\sqrt{40}} = \frac{2\pi}{2\sqrt{10}} = \frac{\pi}{\sqrt{10}}$ с.

Результаты совпадают.

Ответ: период обращения груза равен $\frac{\pi}{\sqrt{10}}$ с (приблизительно 0.99 с).