Номер 10, страница 118, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 11. Равномерное движение по окружности под действием нескольких сил - номер 10, страница 118.

Условие.

10. Выразите период обращения шарика $\text{T}$ через $\text{l}$ и $\alpha$.

Решение 2.

Дано:

$\text{l}$ – длина нити, на которой подвешен шарик;
$\alpha$ – угол, который нить образует с вертикалью.

Найти:

$\text{T}$ – период обращения шарика.

Решение:

Рассмотрим движение шарика. Он движется по горизонтальной окружности, следовательно, это движение с центростремительным ускорением. Такой маятник называется коническим.

На шарик действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec{F}_T$, направленная вдоль нити к точке подвеса.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение: $m\vec{a}_c = m\vec{g} + \vec{F}_T$, где $\vec{a}_c$ – центростремительное ускорение.

Для решения задачи введём систему координат. Направим ось OY вертикально вверх, а ось OX – горизонтально к центру окружности, по которой движется шарик. Спроектируем векторное уравнение на эти оси.

Проекция на ось OY: Движения по вертикали нет, поэтому сумма проекций сил на эту ось равна нулю. $F_{T,y} - mg = 0$ $F_T \cos \alpha - mg = 0 \implies F_T \cos \alpha = mg$ (1)

Проекция на ось OX: Равнодействующая сил в горизонтальном направлении сообщает шарику центростремительное ускорение $a_c$. $F_{T,x} = ma_c$ $F_T \sin \alpha = ma_c$ (2)

Центростремительное ускорение выражается через угловую скорость $\omega$ и радиус окружности $\text{r}$ как $a_c = \omega^2 r$. Угловая скорость связана с периодом обращения $\text{T}$ формулой $\omega = \frac{2\pi}{T}$. Таким образом, $a_c = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$.

Радиус окружности $\text{r}$ можно выразить через длину нити $\text{l}$ и угол $\alpha$ из прямоугольного треугольника: $\sin \alpha = \frac{r}{l} \implies r = l \sin \alpha$.

Подставим выражения для $a_c$ и $\text{r}$ в уравнение (2): $F_T \sin \alpha = m \frac{4\pi^2 (l \sin \alpha)}{T^2}$

Поскольку $\alpha \ne 0$, мы можем сократить обе части уравнения на $\sin \alpha$: $F_T = m \frac{4\pi^2 l}{T^2}$ (3)

Теперь у нас есть два выражения для силы натяжения нити $F_T$. Из уравнения (1) выразим $F_T$: $F_T = \frac{mg}{\cos \alpha}$ (4)

Приравняем правые части уравнений (3) и (4): $m \frac{4\pi^2 l}{T^2} = \frac{mg}{\cos \alpha}$

Сократим массу $\text{m}$ и выразим $T^2$: $\frac{4\pi^2 l}{T^2} = \frac{g}{\cos \alpha}$ $T^2 = \frac{4\pi^2 l \cos \alpha}{g}$

Извлекая квадратный корень, получим итоговую формулу для периода обращения шарика: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l \cos \alpha}{g}}$

Ответ: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l \cos \alpha}{g}}$