Номер 26, страница 114, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 10. Тело на наклонной плоскости - номер 26, страница 114.

Условие.

26. Тележка съезжает по наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$. На тележке установлен штатив, к которому на нити подвешен шарик массой $\text{m}$. При этом шарик покоится относительно тележки. Чему равна сила натяжения нити и угол $\beta$, который нить составляет с вертикалью? Примите, что трением между тележкой и плоскостью можно пренебречь.

Решение 2.

Дано:

Угол наклона плоскости: $\alpha$

Масса шарика: $\text{m}$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Силу натяжения нити $\text{T}$

Угол $\beta$, который нить составляет с вертикалью

Решение:

Поскольку трением между тележкой и наклонной плоскостью можно пренебречь, тележка вместе с шариком движется с ускорением, направленным вдоль наклонной плоскости. Найдем величину этого ускорения, используя второй закон Ньютона для системы "тележка+шарик" (или только для тележки, так как ускорение одинаково). Проекция силы тяжести на направление движения равна $F_{||} = M_{общ} g \sin(\alpha)$, где $M_{общ}$ — общая масса системы. Тогда ускорение системы:

$a = \frac{M_{общ} g \sin(\alpha)}{M_{общ}} = g \sin(\alpha)$

Теперь рассмотрим силы, действующие на шарик. На него действуют сила тяжести $m\vec{g}$ (направленная вертикально вниз) и сила натяжения нити $\vec{T}$. Шарик покоится относительно тележки, значит, он движется вместе с ней с ускорением $\vec{a}$, направленным вдоль наклонной плоскости.

Запишем второй закон Ньютона для шарика: $m\vec{a} = m\vec{g} + \vec{T}$.

Для решения задачи удобнее всего выбрать систему координат, связанную с наклонной плоскостью: ось $Ox$ направим вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей вверх. В этой системе координат ускорение шарика имеет компоненты: $a_x = a = g \sin(\alpha)$, $a_y = 0$.

Спроектируем силы на эти оси:

Проекция силы тяжести на ось $Ox$: $mg_x = mg \sin(\alpha)$

Проекция силы тяжести на ось $Oy$: $mg_y = -mg \cos(\alpha)$

Обозначим угол, который нить составляет с осью $Oy$ (то есть с перпендикуляром к наклонной плоскости), через $\gamma$. Тогда компоненты силы натяжения:

$T_x = -T \sin(\gamma)$

$T_y = T \cos(\gamma)$

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси:

На ось $Ox$: $ma_x = mg_x + T_x$

$m(g \sin(\alpha)) = mg \sin(\alpha) - T \sin(\gamma)$

Из этого уравнения следует, что $T \sin(\gamma) = 0$. Так как сила натяжения $T \neq 0$, то $\sin(\gamma) = 0$, откуда $\gamma = 0$. Это означает, что нить расположена перпендикулярно наклонной плоскости.

На ось $Oy$: $ma_y = mg_y + T_y$

$m \cdot 0 = -mg \cos(\alpha) + T \cos(\gamma)$

Подставляя $\gamma = 0$ (и, соответственно, $\cos(\gamma)=1$), получаем:

$0 = -mg \cos(\alpha) + T$

$T = mg \cos(\alpha)$

Мы нашли силу натяжения нити. Теперь найдем угол $\beta$ между нитью и вертикалью.

Поскольку нить перпендикулярна наклонной плоскости, а наклонная плоскость составляет угол $\alpha$ с горизонталью, то угол между перпендикуляром к плоскости (нитью) и вертикалью также будет равен $\alpha$.

Таким образом, $\beta = \alpha$.

Ответ: Сила натяжения нити $T = mg \cos(\alpha)$, угол, который нить составляет с вертикалью, $\beta = \alpha$.