Номер 27, страница 114, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава II. Динамика. Параграф 10. Тело на наклонной плоскости - номер 27, страница 114.

Условие.

27. На гладкой наклонной плоскости в точке A находится шайба (рис. 10.8). Шайбе сообщают начальную скорость, равную $\text{2}$ м/с и направленную вдоль наклонной плоскости под углом $60^{\circ}$ к горизонтальной линии AB. Через некоторое время шайба попадает в точку B. Чему равно расстояние AB, если угол наклона плоскости равен $30^{\circ}$?

Рис. 10.8

Решение 2.

Дано:

$v_0 = 2$ м/с

$\beta = 60°$ (угол начальной скорости к горизонтали)

$\alpha = 30°$ (угол наклона плоскости)

Найти:

$\text{L}$ - расстояние AB

Решение:

Движение шайбы происходит на гладкой наклонной плоскости. Единственной силой, вызывающей ускорение шайбы, является составляющая силы тяжести, параллельная наклонной плоскости. Ускорение, сообщаемое этой силой, направлено вертикально вниз вдоль наклонной плоскости и равно по модулю $a = g \sin(\alpha)$, где $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Введем систему координат на наклонной плоскости. Пусть начало координат находится в точке А. Ось $Ox$ направим вдоль горизонтальной линии AB, а ось $Oy$ – перпендикулярно ей вверх по склону.

В этой системе координат вектор ускорения $\vec{a}$ будет направлен вдоль оси $Oy$ в отрицательном направлении:

$a_x = 0$

$a_y = -g \sin(\alpha)$

Начальная скорость $\vec{v}_0$ направлена под углом $\beta = 60°$ к оси $Ox$. Разложим ее на компоненты:

$v_{0x} = v_0 \cos(\beta)$

$v_{0y} = v_0 \sin(\beta)$

Движение шайбы можно описать как движение тела, брошенного под углом к горизонту, но с "эффективным" ускорением свободного падения $g' = g \sin(\alpha)$. Запишем уравнения движения:

Координата по оси $Ox$: $x(t) = v_{0x} t = v_0 \cos(\beta) \cdot t$

Координата по оси $Oy$: $y(t) = v_{0y} t + \frac{a_y t^2}{2} = v_0 \sin(\beta) \cdot t - \frac{g \sin(\alpha) \cdot t^2}{2}$

Шайба попадет в точку B, когда ее координата $\text{y}$ снова станет равной нулю. Найдем время полета $\text{T}$ из условия $y(T) = 0$:

$v_0 \sin(\beta) \cdot T - \frac{g \sin(\alpha) \cdot T^2}{2} = 0$

$T \left( v_0 \sin(\beta) - \frac{g \sin(\alpha) \cdot T}{2} \right) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $T_1 = 0$ (начальный момент времени в точке А) и $T_2 = \frac{2 v_0 \sin(\beta)}{g \sin(\alpha)}$ (момент времени, когда шайба достигает точки B).

Расстояние AB равно координате $\text{x}$ в момент времени $T_2$:

$L = AB = x(T_2) = v_0 \cos(\beta) \cdot T_2 = v_0 \cos(\beta) \cdot \frac{2 v_0 \sin(\beta)}{g \sin(\alpha)}$

$L = \frac{v_0^2 \cdot 2 \sin(\beta) \cos(\beta)}{g \sin(\alpha)}$

Используя тригонометрическую формулу двойного угла $2 \sin(\beta) \cos(\beta) = \sin(2\beta)$, получаем:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\beta)}{g \sin(\alpha)}$

Подставим числовые значения. Примем $g \approx 9.8$ м/с².

$L = \frac{(2 \text{ м/с})^2 \cdot \sin(2 \cdot 60°)}{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot \sin(30°)} = \frac{4 \cdot \sin(120°)}{9.8 \cdot 0.5}$

Так как $\sin(120°) = \sin(180° - 60°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:

$L = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{4.9} = \frac{2\sqrt{3}}{4.9} \approx \frac{2 \cdot 1.732}{4.9} \approx \frac{3.464}{4.9} \approx 0.707$ м.

Округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: $L \approx 0.71$ м.