Номер 8, страница 134, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 13. Импульс. Закон сохранения импульса - номер 8, страница 134.

Условие.

°8. Используя второй закон Ньютона, докажите, что $\Delta \vec{p} = \vec{F} \Delta t$.

Решение 2.

Решение

Второй закон Ньютона в классической механике устанавливает связь между равнодействующей силой, приложенной к телу, и вызываемым этой силой ускорением. В наиболее распространённой форме закон записывается как:

$\vec{F} = m\vec{a}$

где $\vec{F}$ — равнодействующая всех сил, действующих на тело, $\text{m}$ — масса тела (которая в данном случае считается постоянной), а $\vec{a}$ — ускорение тела.

Ускорение по определению — это скорость изменения скорости. Для конечного промежутка времени $\Delta t$, в течение которого скорость тела изменяется на величину $\Delta\vec{v}$, ускорение можно выразить следующим образом:

$\vec{a} = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$

Подставим это выражение для ускорения в формулу второго закона Ньютона:

$\vec{F} = m \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$

Домножим обе части этого уравнения на промежуток времени $\Delta t$:

$\vec{F} \Delta t = m \Delta\vec{v}$

Теперь рассмотрим понятие импульса тела. Импульс (или количество движения) $\vec{p}$ определяется как произведение массы тела на его скорость:

$\vec{p} = m\vec{v}$

Изменение импульса тела $\Delta\vec{p}$ за промежуток времени $\Delta t$ равно разности между его конечным и начальным импульсом:

$\Delta\vec{p} = \vec{p}_{2} - \vec{p}_{1} = m\vec{v}_{2} - m\vec{v}_{1} = m(\vec{v}_{2} - \vec{v}_{1})$

Поскольку $\Delta\vec{v} = \vec{v}_{2} - \vec{v}_{1}$, мы можем записать:

$\Delta\vec{p} = m\Delta\vec{v}$

Сравнивая два полученных выражения, $\vec{F} \Delta t = m \Delta\vec{v}$ и $\Delta\vec{p} = m\Delta\vec{v}$, мы видим, что их правые части идентичны. Следовательно, мы можем приравнять их левые части:

$\Delta\vec{p} = \vec{F}\Delta t$

Это соотношение является выражением второго закона Ньютона в импульсной форме и показывает, что изменение импульса тела равно импульсу силы, действующей на него. Что и требовалось доказать.

Ответ:

Доказательство приведено выше. Исходя из второго закона Ньютона ($\vec{F} = m\vec{a}$) и определения ускорения ($\vec{a} = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$), получаем $\vec{F}\Delta t = m\Delta\vec{v}$. Так как изменение импульса по определению равно $\Delta\vec{p} = m\Delta\vec{v}$, то, приравнивая выражения, приходим к искомой формуле $\Delta\vec{p} = \vec{F}\Delta t$.