Номер 19, страница 76, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава VI. Термодинамика. Параграф 33. Тепловые двигатели. Второй закон термодинамики - номер 19, страница 76.

Условие.

19. Циклический процесс, который осуществляется с пятью молями одноатомного газа, состоит из изотермического расширения, изохорного охлаждения и адиабатического сжатия. Чему равен КПД цикла, если в изохорном процессе температура газа уменьшается на 300 К, а работа, совершённая газом в изотермическом процессе, равна 25 кДж?

Решение 2.

Дано:

Количество вещества одноатомного газа: $\nu = 5$ моль

Газ: одноатомный, число степеней свободы $i=3$

Цикл состоит из:

1-2: Изотермическое расширение ($T = \text{const}$)

2-3: Изохорное охлаждение ($V = \text{const}$)

3-1: Адиабатическое сжатие ($Q = 0$)

Уменьшение температуры в изохорном процессе: $\Delta T_{23} = T_2 - T_3 = 300$ К

Работа газа в изотермическом процессе: $A_{12} = 25$ кДж

Универсальная газовая постоянная: $R \approx 8,31$ Дж/(моль·К)

Перевод в систему СИ:

$A_{12} = 25 \cdot 10^3$ Дж

Найти:

КПД цикла $\eta$

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) теплового цикла определяется как отношение полезной работы, совершённой газом за цикл, к количеству теплоты, полученному от нагревателя.

$\eta = \frac{A_{цикл}}{Q_н}$

Полезная работа за цикл равна разности между теплотой, полученной от нагревателя ($Q_н$), и теплотой, отданной холодильнику ($|Q_х|$). Таким образом, формулу для КПД можно записать как:

$\eta = \frac{Q_н - |Q_х|}{Q_н} = 1 - \frac{|Q_х|}{Q_н}$

Рассмотрим каждый процесс в цикле, чтобы определить $Q_н$ и $Q_х$.

1. Процесс 1-2 (изотермическое расширение)

В этом процессе температура газа постоянна ($T_1 = T_2$), следовательно, изменение его внутренней энергии равно нулю ($\Delta U_{12} = 0$). Согласно первому закону термодинамики, $Q = \Delta U + A$, количество теплоты, полученное газом, равно работе, совершённой газом:

$Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = 0 + A_{12} = 25$ кДж

Так как газ расширяется ($A_{12} > 0$), он получает теплоту ($Q_{12} > 0$). Это и есть теплота, полученная от нагревателя:

$Q_н = Q_{12} = 25000$ Дж

2. Процесс 2-3 (изохорное охлаждение)

В этом процессе объём газа постоянен ($V_2 = V_3$), поэтому работа газа равна нулю ($A_{23} = 0$). Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты равно изменению внутренней энергии:

$Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = \Delta U_{23}$

Для одноатомного газа изменение внутренней энергии рассчитывается по формуле:

$\Delta U_{23} = \frac{3}{2}\nu R(T_3 - T_2) = -\frac{3}{2}\nu R(T_2 - T_3)$

Так как газ охлаждается ($T_3 < T_2$), то $Q_{23} < 0$, то есть газ отдает теплоту. Это теплота, отданная холодильнику.

$|Q_х| = |Q_{23}| = \frac{3}{2}\nu R(T_2 - T_3)$

Подставим известные значения:

$|Q_х| = \frac{3}{2} \cdot 5 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 300 \text{ К} = 1,5 \cdot 5 \cdot 8,31 \cdot 300 = 18697,5$ Дж

3. Процесс 3-1 (адиабатическое сжатие)

Этот процесс происходит без теплообмена с окружающей средой, поэтому $Q_{31} = 0$.

Теперь мы можем рассчитать КПД цикла:

$\eta = 1 - \frac{|Q_х|}{Q_н} = 1 - \frac{18697,5 \text{ Дж}}{25000 \text{ Дж}} = 1 - 0,7479 = 0,2521$

Выразим КПД в процентах:

$\eta = 0,2521 \cdot 100\% = 25,21\%$

Ответ: КПД цикла равен 0,2521 или примерно 25,2%.