Номер 18, страница 76, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава VI. Термодинамика. Параграф 33. Тепловые двигатели. Второй закон термодинамики - номер 18, страница 76.

Условие.

18. Чему равен КПД циклического процесса, происходящего с данной массой одноатомного газа (рис. 33.7)?

Рис. 33.7

Решение 2.

Дано:

Циклический процесс 1-2-3-1 для одноатомного газа.

Параметры состояний из графика (в условных единицах $p_0$ и $V_0$):

Состояние 1: $p_1 = p_0$, $V_1 = V_0$

Состояние 2: $p_2 = 3p_0$, $V_2 = 3V_0$

Состояние 3: $p_3 = p_0$, $V_3 = 3V_0$

Найти:

КПД цикла, $\eta$.

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины определяется по формуле:

$\eta = \frac{A_{цикла}}{Q_{н}}$

где $A_{цикла}$ — работа, совершённая газом за цикл, а $Q_{н}$ — количество теплоты, полученное газом от нагревателя за цикл.

1. Найдем работу газа за цикл $A_{цикла}$.

В координатах p-V работа за цикл численно равна площади фигуры, ограниченной графиком цикла. В данном случае это площадь прямоугольного треугольника 1-2-3.

$A_{цикла} = \frac{1}{2} \cdot (V_3 - V_1) \cdot (p_2 - p_3)$

Подставим значения из графика:

$A_{цикла} = \frac{1}{2} \cdot (3V_0 - V_0) \cdot (3p_0 - p_0) = \frac{1}{2} \cdot (2V_0) \cdot (2p_0) = 2p_0V_0$

2. Найдем количество теплоты $Q_{н}$, полученное газом от нагревателя.

Теплота подводится к газу на тех участках цикла, где $Q > 0$. Согласно первому закону термодинамики, $Q = \Delta U + A$, где $\Delta U$ — изменение внутренней энергии, а $\text{A}$ — работа газа.

Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии равно $\Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T = \frac{3}{2}\Delta(pV)$.

Рассмотрим каждый процесс:

Процесс 1-2:

Работа газа $A_{12}$ равна площади трапеции под отрезком 1-2.

$A_{12} = \frac{p_1 + p_2}{2} \cdot (V_2 - V_1) = \frac{p_0 + 3p_0}{2} \cdot (3V_0 - V_0) = \frac{4p_0}{2} \cdot 2V_0 = 4p_0V_0$

Изменение внутренней энергии:

$\Delta U_{12} = \frac{3}{2}(p_2V_2 - p_1V_1) = \frac{3}{2}(3p_0 \cdot 3V_0 - p_0V_0) = \frac{3}{2}(9p_0V_0 - p_0V_0) = \frac{3}{2}(8p_0V_0) = 12p_0V_0$

Количество теплоты, полученное газом:

$Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = 12p_0V_0 + 4p_0V_0 = 16p_0V_0$

Так как $Q_{12} > 0$, на этом участке газ получает тепло от нагревателя.

Процесс 2-3:

Это изохорный процесс ($V = const$), поэтому работа газа $A_{23} = 0$.

Изменение внутренней энергии:

$\Delta U_{23} = \frac{3}{2}(p_3V_3 - p_2V_2) = \frac{3}{2}(p_0 \cdot 3V_0 - 3p_0 \cdot 3V_0) = \frac{3}{2}(3p_0V_0 - 9p_0V_0) = \frac{3}{2}(-6p_0V_0) = -9p_0V_0$

Количество теплоты:

$Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = -9p_0V_0$

Так как $Q_{23} < 0$, на этом участке газ отдает тепло холодильнику.

Процесс 3-1:

Это изобарный процесс ($p = const$), работа газа:

$A_{31} = p_1(V_1 - V_3) = p_0(V_0 - 3V_0) = -2p_0V_0$

Изменение внутренней энергии:

$\Delta U_{31} = \frac{3}{2}(p_1V_1 - p_3V_3) = \frac{3}{2}(p_0V_0 - p_0 \cdot 3V_0) = \frac{3}{2}(-2p_0V_0) = -3p_0V_0$

Количество теплоты:

$Q_{31} = \Delta U_{31} + A_{31} = -3p_0V_0 + (-2p_0V_0) = -5p_0V_0$

Так как $Q_{31} < 0$, на этом участке газ также отдает тепло холодильнику.

Общее количество теплоты, полученное от нагревателя, равно сумме всех положительных количеств теплоты:

$Q_{н} = Q_{12} = 16p_0V_0$

3. Вычислим КПД цикла:

$\eta = \frac{A_{цикла}}{Q_{н}} = \frac{2p_0V_0}{16p_0V_0} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

В процентах: $\eta = \frac{1}{8} \cdot 100\% = 12.5\%$

Ответ: КПД циклического процесса равен $\frac{1}{8}$ или $12.5\%$.